201ФИПИ D5D16C№ 23Күрделі На числовой прямой даны два отрезка: $P = [17; 58]$ и $Q = [29; 80]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение…
- 1
Внешняя импликация может быть ложной только при $x \in P$, когда её правая часть ложна.
- 2
Внутренняя импликация $((x \in Q) \land \neg(x \in A)) \to \neg(x \in P)$ ложна, если одновременно $x \in Q$, $x \notin A$ и $x \in P$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
202ФИПИ D6A8C9№ 23Күрделі На числовой прямой даны два отрезка: $B = [133; 175]$ и $C = [140; 199]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, что формула…
- 1
Если $x \notin B$, то внешняя импликация должна быть истинной. Поэтому внутренняя импликация также должна быть истинной.$$\bigl((x \in C) \land \neg(x \in A)\bigr) \to (x \in B)$$
- 2
При $x \notin B$ заключение внутренней импликации ложно. Значит, её условие не должно выполняться: все точки множества $C$, не принадлежащие $B$, должны принадлежать $A$.$$C \setminus B = [140;199] \setminus [133;175] = (175;199]$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
203ФИПИ DA42FA№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = (x \lor \neg y) \land \neg(x \equiv z) \land w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу…
- 1
Так как в каждой из трёх строк значение функции равно $1$, множитель $w$ должен быть равен $1$ во всех строках. Следовательно, $w$ соответствует четвёртому столбцу.
- 2
Множитель $\neg(x \equiv z)$ равен $1$ только при разных значениях $x$ и $z$. Во второй строке первый и третий столбцы содержат значения $0$ и $1$, поэтому они соответствуют переменным $z$ и $x$ в некотором порядке.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
204ФИПИ DA7B93№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $F=(\neg x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Во всех трёх указанных строках значение функции равно 0. Так как функция является дизъюнкцией трёх выражений, каждое из них в каждой строке должно быть равно 0.$$F=(\neg x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w=0$$
- 2
Проверка возможных соответствий четырёх столбцов переменным показывает, что единственный вариант, согласующийся со всеми тремя строками таблицы, имеет вид: столбцы $y$, $x$, $w$, $z$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
205ФИПИ DC01E8№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \land \neg y) \lor (x \equiv z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Обозначим значения в столбцах строк через $a$, $b$, $c$, $d$. Во всех трёх строках значение функции равно 0.$$F=(x \land \neg y) \lor (x \equiv z) \lor \neg w=0$$
- 2
В первой строке значения столбцов равны $0,1,1,0$. При соответствии первый столбец — $x$, второй — $w$, третий — $z$, четвёртый — $y$ получаем $x=0$, $w=1$, $z=1$, $y=0$, поэтому $F=0$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
206ФИПИ DC218E№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $ (\neg x \mathbin{\vee} \neg y) \mathbin{\wedge} \neg(x \equiv z) \mathbin{\wedge} w $, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не…
- 1
Во всех трёх строках значение функции равно 1. Следовательно, каждый множитель выражения также равен 1. В частности, $w=1$.
- 2
Единственный столбец, в котором в первой и третьей строках стоит 1, — столбец 2. Поэтому столбец 2 соответствует переменной $w$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности функции $ (x \land \neg y) \lor (x \equiv z) \lor \neg w $, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Чтобы значение дизъюнкции было равно 0, все её части должны быть равны 0. Поэтому $\neg w = 0$, то есть $w = 1$, а также $x \ne z$ и $x \land \neg y = 0$.$$\neg w=0,\quad x\ne z,\quad x\land\neg y=0$$
- 2
В третьей строке первый столбец содержит 1, а второй — 0. Так как $w=1$, первый столбец соответствует $w$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
208ФИПИ DFF2F9№ 23Күрделі Логическая функция $F$ задаётся выражением $(x \to y) \vee \neg(w \to z)$. На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции $F$, содержащий все наборы аргументов, при которых функция $F$…
- 1
Функция $F$ ложна, если оба слагаемых дизъюнкции ложны.$$x \to y = 0 \quad \text{и} \quad \neg(w \to z)=0$$
- 2
Импликация $x \to y$ ложна только при $x=1$ и $y=0$. Условие $\neg(w \to z)=0$ означает $w \to z=1$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = \neg(w \to x) \mathbin{\lor} (y \to z) \mathbin{\lor} \neg y$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав…
- 1
Преобразуем выражение функции:$$F = \neg(w \to x) \mathbin{\lor} (y \to z) \mathbin{\lor} \neg y = (w \mathbin{\land} \neg x) \mathbin{\lor} (\neg y \mathbin{\lor} z) \mathbin{\lor} \neg y$$
- 2
Так как во всех трёх строках $F=0$, каждое слагаемое дизъюнкции должно быть равно нулю. Поэтому $y=1$, $z=0$, а также не допускается одновременное выполнение условий $w=1$ и $x=0$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
210ФИПИ E8CAFC№ 23Күрделі На числовой прямой даны два отрезка: $D = [135; 161]$ и $B = [149; 174]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, что формула…
- 1
Внешняя импликация автоматически истинна при $x \notin D$. Поэтому рассмотрим только значения $x \in D$.
- 2
При $x \in D$ выражение $(\neg(x \in B) \land \neg(x \in A)) \to \neg(x \in D)$ будет истинным для всех $x$ только в том случае, если не существует элемента $D$, который не принадлежит ни $B$, ни $A$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности функции $(\neg x \land \neg y) \lor (x \equiv z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Так как значение функции в каждой строке равно 0, все три слагаемых дизъюнкции должны быть равны 0. В частности, $\neg w = 0$, поэтому $w = 1$.$$\neg w = 0 \Rightarrow w = 1$$
- 2
В первой строке известны значения $0, 1, \_, 1$. Если первый столбец — это $x$, второй — $w$, третий — $z$, четвёртый — $y$, получаем $x=0$, $w=1$, $y=1$, $z=1$. Тогда все части функции равны 0.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
212ФИПИ F03E64№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = ((y \to x) \to z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Так как во всех трёх строках $F = 0$, обе части дизъюнкции должны быть равны нулю.$$((y \to x) \to z) = 0,\quad \neg w = 0$$
- 2
Из равенства $\neg w = 0$ следует, что во всех указанных строках $w = 1$. Значит, столбец, содержащий значения 0, 1, 1 в трёх строках, должен быть столбцом переменной $w$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
213ФИПИ F126F9№ 23Күрделі Логическая функция $F$ задаётся выражением $\neg x \lor y \lor (\neg z \land w)$. В таблице приведены все наборы аргументов, при которых функция $F$ ложна. Определите, какой переменной соответствует…
- 1
Чтобы функция была ложной, первое слагаемое $\neg x$ должно быть ложным, а значит, $x=1$. Поэтому столбец, состоящий из единиц, — это столбец переменной $x$.
- 2
Второе слагаемое $y$ также должно быть ложным, следовательно, $y=0$. Поэтому столбец, состоящий из нулей, — это столбец переменной $y$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
214ФИПИ F3F61F№ 23Күрделі Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$»; и пусть на числовой прямой дан отрезок $B = [40; 50]$. Для какого наибольшего…
- 1
Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически. Рассматриваем только $x \in [40; 50]$.
- 2
Импликация $(x \in B) \to \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,11)$ ложна, когда $x \in B$ и $x$ делится на $11$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
215ФИПИ F43771№ 23Күрделі Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наименьшего натурального числа $A$ формула…
- 1
Импликация $\mathrm{ДЕЛ}(x,2) \to \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,3)$ ложна только тогда, когда $x$ делится на $2$ и одновременно делится на $3$.
- 2
Следовательно, первая часть формулы впервые становится ложной при наименьшем натуральном $x = 6$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
216ФИПИ F4E698№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагменты из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Во всех трёх строках значение функции равно $0$, поэтому каждое слагаемое выражения $(x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w$ должно быть равно $0$.
- 2
Во второй и третьей строках второй и четвёртый столбцы постоянны и равны $1$, а третий столбец меняется с $0$ на $1$. При $w=1$ значение $\neg w$ равно $0$. Чтобы выражение оставалось равным $0$, вторая и третья строки должны отличаться…
Ещё 1 қадам — толық шешімде
217ФИПИ F53FE2№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $(\neg x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Рассмотрим первую строку. В ней значения столбцов имеют вид $0,\,\_,\,0,\,1$, а значение функции равно 0. Единственное соответствующее распределение даёт первый столбец $z$, второй $y$, третий $x$, четвёртый $w$.
- 2
Проверим полученное соответствие по второй строке: значения переменных равны $z=1$, $y=0$, $x=0$, $w=1$. Тогда $(\neg x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w = (1 \land 1) \lor 0 \lor 0 = 1$, поэтому для нулевого результата вторая и…
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_{10}, y_1, y_2, \ldots, y_5$, которые удовлетворяют всем приведённым ниже условиям?…
- 1
Если $x_i \land y_j=1$, то обе импликации должны быть истинными, поэтому $x_{i+1}=1$ и $y_{j+1}=1$.
- 2
Рассмотрим случай, когда среди $x_1,\ldots,x_9$ нет единиц. Тогда первые девять значений $x$ равны нулю, а $x_{10}$ выбирается двумя способами. Последовательность $y$ произвольна: $2\cdot 2^5=64$ наборов.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = (y \land \neg x) \lor (x \equiv z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу…
- 1
Рассматриваем все перестановки переменных $w$, $x$, $y$, $z$ по четырём столбцам и проверяем каждую перестановку по трём строкам таблицы.$$F=(y\land\neg x)\lor(x\equiv z)\lor\neg w$$
- 2
Единственная перестановка, при которой значение функции равно нулю во всех трёх заданных строках, — $y$, $z$, $x$, $w$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
220ФИПИ F65508№ 23Күрделі Логическая функция $F$ задаётся выражением $(x \to y) \lor \neg(w \to z)$. На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции $F$, содержащий все наборы аргументов, при которых функция $F$…
- 1
Функция $F$ ложна, если одновременно $x \to y = 0$ и $\neg(w \to z) = 0$.
- 2
Импликация $x \to y$ ложна только при $x = 1$ и $y = 0$. Поэтому столбец с постоянными единицами — это $x$, а столбец с постоянными нулями — $y$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде