Тапсырма 15 ЕГЭ по информатикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Внешняя импликация может быть ложной только при $x \in P$. Поэтому рассмотрим значения $x$ из отрезка $P$.

Внутренняя импликация $(x \in Q) \land \neg(x \in A) \to \neg(x \in P)$ будет ложной, если одновременно выполняются условия $x \in Q$, $x \notin A$ и $x \in P$.

Логическое выражение ложно только в том случае, если ложны все три части дизъюнкции.$$(69 \ne y + 2x) = 0,\quad (A > x) = 0,\quad (A > y) = 0$$

Следовательно, для проверки минимального значения $A$ нужно рассмотреть систему условий:$$y + 2x = 69,\quad x \ge A,\quad y \ge A$$

Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна. Значит, достаточно рассмотреть целые числа $x$ из отрезка $[40;50]$.

Импликация $(x \in B) \to \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,12)$ ложна, если $x$ принадлежит отрезку $B$ и делится на $12$.

Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически. Рассмотрим только $x \in [70;90]$.

Импликация может быть ложной, когда одновременно $x \in B$ и $\mathrm{ДЕЛ}(x,22)$. В отрезке $[70;90]$ единственное число, делящееся на $22$, — $88$.

Рассмотрим левую часть импликации: $(X>3) \lor (X<3)$. Она ложна только при $X=3$, поскольку число 3 не больше и не меньше самого себя.$$(3>3) \lor (3<3) = 0 \lor 0 = 0$$

Импликация с ложной посылкой всегда истинна независимо от значения заключения.$$0 \to (3<1) = 1$$

Применим закон де Моргана к выражению $\neg(B \lor C)$.$$\neg(B \lor C) = \neg B \land \neg C$$

Подставим полученное равенство в исходное выражение.$$\neg A \lor \neg(B \lor C) = \neg A \lor (\neg B \land \neg C)$$

Логическое выражение может быть ложным только тогда, когда ложны все три части:$$(x\leq A)\land(y\leq A)\land(x+2y\geq 80)$$

При условиях $x\leq A$ и $y\leq A$ наибольшее значение выражения $x+2y$ достигается при $x=A$ и $y=A$:$$x+2y\leq A+2A=3A$$

Импликация $P \to Q$ ложна, когда $P$ истинно, а $Q$ ложно. Здесь при $x \notin A$ выражение должно оставаться истинным, значит при таких $x$ значения принадлежности $B$ и $C$ должны совпадать.

Принадлежность отрезкам различается на участках, входящих только в один из них: $[22; 32)$ и $(40; 50]$.

Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны все три её части одновременно:$$2x+y=110,\quad x\ge y,\quad A\ge x$$

Из условия $x\ge y$ получаем $y\le x$. Поэтому из равенства $2x+y=110$ следует:$$110=2x+y\le 3x$$

Импликация $A\to B$ ложна только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Поэтому её отрицание истинно при $A=1$ и $B=0$.$$\neg(A\to B)\equiv A\land\neg B$$

В данном выражении первое условие — $X>3$, а отрицание второго условия $X>4$ равносильно условию $X\leqslant4$.$$\neg\bigl((X>3)\to(X>4)\bigr)\equiv (X>3)\land(X\leqslant4)$$

Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически. Проверять нужно только значения $x$ из отрезка $B$.

Чтобы выражение могло быть ложным, должно выполняться $\mathrm{ДЕЛ}(x,16)$, а также не выполняться $\mathrm{ДЕЛ}(x,A)$. Следовательно, найдём кратные $16$ на отрезке $[70;90]$.$$80 \text{ — единственное число на } [70;90], \text{ кратное } 16$$

Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически.

При $x \in B$ импликация может быть ложной только тогда, когда $x$ делится на $15$. В отрезке $[65;85]$ единственное такое число — $75$.

Проверим значение $X = 2$. Условия $X > 2$ и $X < 2$ при этом ложны.$$(2 > 2) = 0,\quad (2 < 2) = 0$$

Дизъюнкция двух ложных высказываний ложна.$$(X > 2) \lor (X < 2) = 0$$

Чтобы дизъюнкция могла быть ложной, должны одновременно быть ложными второе и третье высказывания:$$\neg(x<y) \land \neg(9<x) \Longleftrightarrow x\geqslant y \land x\leqslant 9$$

При неотрицательных $x$ и $y$ в этой области максимальное значение произведения достигается при $x=y=9$:$$x\cdot y\leqslant 9\cdot 9=81$$

Применим закон де Моргана к отрицанию дизъюнкции:$$\neg(\neg A \lor B) = \neg\neg A \land \neg B$$

Устраним двойное отрицание:$$\neg\neg A \land \neg B = A \land \neg B$$

Проверим значение $X=1$. Первое неравенство ложно: $1>4$ — ложь.$$X>4 = 0$$

В импликации левая часть также ложна: $1>1$ — ложь. Импликация с ложной левой частью истинна.$$(X>1) \to (X>4) = 0 \to 0 = 1$$

Чтобы импликация была невыполнена, левая часть должна быть истинной, а правая — ложной. Поэтому рассмотрим числа $x$, для которых одновременно выполняются условия $x \mathbin{\&} 52 \ne 0$ и $x \mathbin{\&} 48 = 0$.

Представим числа в двоичной системе: $52 = 110100_2$, $48 = 110000_2$. Условие $x \mathbin{\&} 48 = 0$ означает, что в $x$ отсутствуют разряды $32$ и $16$. Тогда условие $x \mathbin{\&} 52 \ne 0$ может выполняться только за счёт разряда…$$x \mathbin{\&} 4 = 4$$

Чтобы логическое выражение могло быть ложным, первые два высказывания должны быть ложными:$$x+y>30,\quad y>x+2$$

Из второго неравенства для целых чисел следует $x\le y-3$. Чтобы найти минимальное возможное $y$, берём наибольшее допустимое $x=y-3$.$$x+y\le (y-3)+y=2y-3$$

Логическое выражение ложно только тогда, когда ложны все три высказывания:$$2x+y=40,\quad x\ge y,\quad A\ge x$$

Из первого условия выразим $y$ и учтём неотрицательность переменных:$$y=40-2x,\quad 0\le x\le 20$$

Применяем закон де Моргана к отрицанию конъюнкции $A \land B$.$$\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$$

Подставляем полученное выражение в исходную формулу.$$\neg(A \land B) \land \neg C = (\neg A \lor \neg B) \land \neg C$$