Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$r = \dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{12\cdot 3}{6} = 6$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $10\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается через длину стороны формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим значение радиуса и найдём сторону треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 60$$

Основания равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

1. 1
   В равнобедренной трапеции горизонтальные проекции обеих боковых сторон равны. Обозначим каждую из них через $x$.
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой $5$ и углом $45^\circ$ при основании:$$\tan 45^\circ = \frac{5}{x}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Другой острый угол

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $53^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, поэтому сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
2. 2
   Вычтем из суммы острых углов известный угол:$$90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$$

Другой острый угол

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $21^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём другой острый угол:$$\beta = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ$$

Угол параллелограмма

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $25^\circ$ и $30^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $AC$ делит угол $A$ на два угла, равных $25^\circ$ и $30^\circ$.$$\angle A=25^\circ+30^\circ=55^\circ$$
2. 2
   Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен:$$180^\circ-55^\circ=125^\circ$$

Отношение отрезков треугольника

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $BM$ короче отрезка $CM$?

1. 1
   По рисунку отрезки $BM$ и $MC$ лежат на одной прямой и направлены вдоль одного и того же шага по клетчатой бумаге.
2. 2
   При подсчёте одинаковых частей видно, что отрезок $CM$ вдвое длиннее отрезка $BM$.$$\dfrac{CM}{BM}=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение отрезков на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $AM$ длиннее отрезка $CM$?

1. 1
   По клеткам видно, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении, определяемом горизонтальными проекциями: от $A$ до $M$ — 3 единицы, от $M$ до $C$ — 2 единицы.$$AM:CM=3:2$$
2. 2
   Следовательно, отрезок $AM$ длиннее отрезка $CM$ в следующую величину:$$\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$$

Отношение отрезков на сетке

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $AM$ длиннее отрезка $CM$?

1. 1
   По клетчатой сетке определяем длины отрезков $AM$ и $CM$.
2. 2
   Сравниваем полученные длины: отрезок $AM$ в четыре раза длиннее отрезка $CM$.$$\dfrac{AM}{CM}=4$$

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку длина стороны $AC$ равна шести клеткам, то есть $AC = 6$.$$AC = 6$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу точки $A$ и $B$ лежат на одной вертикальной линии.
2. 2
   Расстояние между ними составляет две клетки. Размер одной клетки равен $1$.$$AB = 2 \cdot 1 = 2$$

Расстояние между населёнными пунктами

Используя план из общего материала, найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

1. 1
   По плану расстояние между Масловкой и Захарово по горизонтали составляет 20 км, а по вертикали — 21 км. Прямая лесная дорожка является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$a=20,\quad b=21$$
2. 2
   Применяем теорему Пифагора и вычисляем длину гипотенузы.$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$$

Отношение отрезков на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $BM$ длиннее отрезка $CM$?

1. 1
   По клетчатой бумаге определяем длины отрезков $BM$ и $CM$ с помощью теоремы Пифагора.$$BM = 2CM$$
2. 2
   Находим, во сколько раз отрезок $BM$ длиннее отрезка $CM$.$$\dfrac{BM}{CM}=2$$

Больший катет треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   Катеты прямоугольного треугольника изображены вертикальным и горизонтальным отрезками.
2. 2
   Считаем клетки вдоль горизонтального катета: между его концами 9 единичных отрезков.

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу точки $A$ и $B$ находятся на одной вертикальной линии клетчатой бумаги.
2. 2
   Расстояние между соседними горизонтальными линиями равно одной единице. Между точками $A$ и $B$ насчитывается 3 клетки.$$AB = 3 \cdot 1 = 3$$

Больший катет треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   Катеты прямоугольного треугольника расположены вдоль горизонтального и вертикального направлений клетчатой бумаги.
2. 2
   Считаем клетки вдоль большего катета: между его концами 9 единичных отрезков.$$a = 9 \cdot 1 = 9$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   Точки $A$ и $B$ расположены на одной горизонтальной линии сетки.
2. 2
   По чертежу расстояние между ними составляет две клетки. Размер клетки равен $1\times1$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу горизонтальная проекция отрезка $AB$ равна 4 клеткам, а вертикальная — 1 клетке.$$a=4,\quad b=1$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём длину отрезка $AB$.$$AB=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу концы отрезка $AB$ находятся на горизонтальных линиях клетчатой бумаги, расстояние между которыми составляет две клетки.$$AB = 2 \cdot 1$$
2. 2
   Размер клетки равен $1$, поэтому длина отрезка равна двум единицам.$$AB = 2$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   Точки $A$ и $B$ лежат на одной вертикальной линии клетчатой бумаги.
2. 2
   Подсчитываем количество единичных отрезков между точками $A$ и $B$: оно равно пяти.

Ещё 1 шаг — в полном решении