Математика ЕНТ — решения заданий ФИПИ с ответами

Решите: -2x+7<4x-11

Решите: $-2x+7<4x-11$

Сумма двух сторон треугольника равна 18 см, а третью сторону его биссектриса делит на отре

Сумма двух сторон треугольника равна 18 см, а третью сторону его биссектриса делит на отрезки 4 см и 5 см. Наименьшая сторона треугольника равна

1. 1
   Обозначим стороны треугольника через a, b, c, где c — сторона, которую делит биссектриса на отрезки 4 см и 5 см. Тогда c = 4 + 5 = 9 см. По условию сумма двух сторон равна 18 см, и поскольку c = 9 см, то сумма остальных двух сторон a + b…
2. 2
   Проверка треугольника: 8 + 9 > 10 (17 > 10), 8 + 10 > 9 (18 > 9), 9 + 10 > 8 (19 > 8) — неравенство выполняется. Значит, треугольник существует.

Стороны треугольника относятся как 3 : 5 : 7. Найдите периметр подобного ему треугольника,

Стороны треугольника относятся как 3 : 5 : 7. Найдите периметр подобного ему треугольника, в котором сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 36 см

1. 1
   Пусть стороны исходного треугольника равны $3k$, $5k$, $7k$.
2. 2
   Для подобного треугольника стороны будут $3t$, $5t$, $7t$ (коэффициент подобия $t$).

Ещё 2 шага — в полном решении

Образующая конуса равна 2 и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь ос

Образующая конуса равна 2 и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь основания конуса.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6√2 см. Найдите площадь четырехугольника

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $6\sqrt{2}$ см. Найдите площадь четырехугольника $A_1KCD_1$ с $|CK| = 2 \cdot |BK|$

Вычислите: 81^(log₃ 5) + 27^(log₉ 36) + 3^(4log₉ 7)

Вычислите: $81^{\log_3 5} + 27^{\log_9 36} + 3^{4\log_9 7}$

Упростите: (sin 3α)/(sin α) - (cos 3α)/(cos α)

Упростите: $\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha}$

1. 1
   Используем формулы тройного угла: $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ и $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\\\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$
2. 2
   Подставляем в выражение и делим: $\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = 3 - 4\sin^2\alpha$, $\frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = 4\cos^2\alpha - 3$$$\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = 3 - 4\sin^2\alpha\\\frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = 4\cos^2\alpha - 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между двумя городами на карте с масштабом 1:2500000 составляет 4 см. Каково реальное расстояние между ними?

Расстояние между двумя городами на карте с масштабом 1:2500000 составляет 4 см. Каково реальное расстояние между ними?

1. 1
   Масштаб 1:2500000 означает, что 1 см на карте соответствует 2500000 см в реальности.
2. 2
   Умножим расстояние на карте на коэффициент масштаба: 4 см × 2500000 = 10000000 см.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Найдите угол между прямыми, заданными параметрически: $\begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = t \

Найдите угол между прямыми, заданными параметрически: $\begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = t \\ z = -t - 1 \end{cases}$ и $\begin{cases} x = t + 2 \\ y = -2t + 1 \\ z = 1 \end{cases}$

Найдите расстояние от точки A(1; -2; 3) до координатной прямой Oy

Найдите расстояние от точки A(1; -2; 3) до координатной прямой Oy

1. 1
   Координатная прямая Oy — это ось Y, на которой координаты x и z равны нулю: все точки вида (0, y, 0).
2. 2
   Находим проекцию точки A(1, -2, 3) на прямую Oy: это точка (0, -2, 0), так как координаты x и z обнуляются, а y сохраняется.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите уравнение: log₂(x + 1) + log₂(x + 2) = 1

Решите уравнение: $\log_2(x + 1) + \log_2(x + 2) = 1$

1. 1
   Сведём сумму логарифмов к произведению: $\log_2((x+1)(x+2)) = 1$$$\log_2((x+1)(x+2)) = 1$$
2. 2
   Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: $(x+1)(x+2) = 2^1 = 2$$$(x+1)(x+2) = 2$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите уравнение: cos² 9x + sin² 7x + cos² 5x + sin² 3x = 2

Решите уравнение: $\cos^2 9x + \sin^2 7x + \cos^2 5x + \sin^2 3x = 2$

1. 1
   Применим тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\beta = 1 - \frac{\cos 2\alpha - \cos 2\beta}{2}$ или перегруппируем: $\cos^2 9x - \sin^2 3x + \sin^2 7x + \cos^2 5x = 2$. Используем $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$…
2. 2
   Проверяем варианты: A и D идентичны: оба дают $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ и $\frac{\pi k}{12}$. B имеет неправильный первый член ($\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$), C имеет неправильный второй член ($\frac{\pi k}{2}$ вместо…

Өрнектің мәнін табыңыз: (lg(3+2√2))/(lg(√2+1))

Өрнектің мәнін табыңыз: $\frac{\lg(3+2\sqrt{2})}{\lg(\sqrt{2}+1)}$

1. 1
   Заметим, что $3+2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^2$.
2. 2
   Тогда $\lg(3+2\sqrt{2}) = \lg((\sqrt{2}+1)^2) = 2\lg(\sqrt{2}+1)$ по свойству логарифма $\lg(a^b)=b\lg a$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Найдите длину отрезка АВ, если А(2;4), В(4;6).

Найдите длину отрезка АВ, если А(2;4), В(4;6).

1. 1
   Найдите разности координат по осям: Δx = 4 - 2 = 2, Δy = 6 - 4 = 2.
2. 2
   Примените формулу расстояния между двумя точками: $AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Дано: sin α = 3/5 и α ∈ (90°;180°). Найдите значение

Дано: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\alpha \in (90^\circ;180^\circ)$. Найдите значение $\frac{\cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha}$

1. 1
   Найдём cos α из тождества sin²α+cos²α=1, учитывая, что α во II четверти (cos отрицателен).$$\cos\alpha =-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}= -\frac{4}{5}$$
2. 2
   Вычислим tg α и ctg α: tg α = sin α / cos α, ctg α = 1 / tg α.$$\operatorname{tg}\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =-\frac{3}{4},\quad \operatorname{ctg}\alpha =\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =-\frac{4}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решите уравнение: 4^(log₈(2x-2)) · 2^(log₂ ∛(2x-2)) = 2√2

Решите уравнение: $4^{\log_8(2x-2)} \cdot 2^{\log_2 \sqrt[3]{2x-2}} = 2\sqrt{2}$

Решите уравнение 2⁴ˣ + 2³ˣ + 2ˣ = 4 · 2²ˣ - 1

Решите уравнение $2^{4x} + 2^{3x} + 2^x = 4 \cdot 2^{2x} - 1$

1. 1
   Обозначим $t = 2^x$, тогда уравнение становится $t^4 + t^3 + t = 4t^2 - 1$$$t^4 + t^3 + t = 4t^2 - 1$$
2. 2
   Перенесём все члены в левую часть: $t^4 + t^3 - 4t^2 + t + 1 = 0$$$t^4 + t^3 - 4t^2 + t + 1 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите систему уравнений: log₄x + log₄y = 1 ; y + 2x = 9

Решите систему уравнений: $\begin{cases} \log_4x + \log_4y = 1 \\ y + 2x = 9 \end{cases}$

1. 1
   Из первого уравнения используем свойство логарифма суммы: $\log_4 x + \log_4 y = \log_4 (xy) = 1$, откуда $xy = 4^1 = 4$.$$\log_4 x + \log_4 y = \log_4(xy) = 1 \implies xy = 4$$
2. 2
   Подставляем $y = \frac{4}{x}$ во второе уравнение: $\frac{4}{x} + 2x = 9$. Умножаем обе стороны на $x$ (при условии $x \ne 0$): $4 + 2x^2 = 9x$ → $2x^2 - 9x + 4 = 0$.$$\frac{4}{x} + 2x = 9 \implies 4 + 2x^2 = 9x \implies 2x^2 - 9x + 4 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Calculate the value of the expression (-x₀ + 2y₀) with x₀ > y₀, where (x₀; y₀)

Calculate the value of the expression $(-x_0 + 2y_0)$ with $x_0 > y_0$, where $(x_0; y_0)$ is the solution of the system of equations…

1. 1
   Перепишем первое уравнение, используя свойства логарифмов. Поскольку $\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2}$, то $\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 y = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
2. 2
   Умножим обе части на 2: $2\log_2 x - \log_2 y = 3$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Егер 4a² + 9b² = 13ab, онда (2lg(2a+3b)-2lg5)/(lg a+lg b) өрнектің мәні

Егер $4a^2 + 9b^2 = 13ab$, онда $\frac{2\lg(2a+3b)-2\lg5}{\lg a+\lg b}$ өрнектің мәні