Решения заданий ФИПИ ЕНТ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Вычислите: log₃ 9 + log₂ 16

Вычислите: $\log_3 9 + \log_2 16$

1. 1
   Вычислить первый логарифм: $\log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2$
2. 2
   Вычислить второй логарифм: $\log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Найдите значение arctg(-√3/3).

Найдите значение $ \text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$.

1. 1
   Найдите угол, тангенс которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Вспомните, что $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. 2
   Арктангенс $\text{arctg}(x)$ возвращает значение в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Угол $-\frac{\pi}{6}$ лежит в этом интервале, поэтому $\text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычислите: 10√3 - √48 - √75

Вычислите: $10\sqrt{3} - \sqrt{48} - \sqrt{75}$

1. 1
   Вынесем множители из-под корня: $\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot3} = 4\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = \sqrt{25\cdot3} = 5\sqrt{3}$$$\sqrt{48}=4\sqrt{3}\quad\sqrt{75}=5\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставляем в выражение: $10\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (10 - 4 - 5)\sqrt{3} = 1\cdot\sqrt{3} = \sqrt{3}$$$10\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (10-4-5)\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычислите: i²⁴ + i²⁵ + i²⁶

Вычислите: $i^{24} + i^{25} + i^{26}$

Найдите модуль числа z = z₁ + z₂, если z₁ = 2 + 3i, z₂ = -1 + 4i

Найдите модуль числа $z = z_1 + z_2$, если $z_1 = 2 + 3i, z_2 = -1 + 4i$

1. 1
   Найдите сумму комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ по действительным и мнимым частям отдельно.$$z_1 + z_2 = (2 + (-1)) + (3 + 4)i = 1 + 7i$$
2. 2
   Вычислите модуль полученного комплексного числа $z = 1 + 7i$ по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ — действительная часть, $b$ — мнимая часть.$$|z| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростите выражение: (a² · a⁻⁹)/(a⁻³)⁴

Упростите выражение: $\frac{a^2 \cdot a^{-9}}{(a^{-3})^4}$

Найдите значение выражения (6³ + 2⁸/3²)⁰ - ((1/2)² - 1/2)²

Найдите значение выражения $(6^3 + \frac{2^8}{3^2})^0 - ((\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2})^2$

1. 1
   Первое слагаемое: любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Выражение в основании: $6^3 + \frac{2^8}{3^2} = 216 + \frac{256}{9} > 0$, значит $(6^3 + \frac{2^8}{3^2})^0 = 1$$$(6^3 + \frac{2^8}{3^2})^0 = 1$$
2. 2
   Второе слагаемое: вычисляем скобку: $(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$$(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Упростите выражение: (cos36° + sin² 18°)/(cos² 18°) - 1

Упростите выражение: $\frac{\cos36^{\circ} + \sin^2 18^{\circ}}{\cos^2 18^{\circ}} - 1$

1. 1
   Применим тригонометрические тождества: $\sin^2 18^{\circ} = 1 - \cos^2 18^{\circ}$, тогда числитель станет $\cos 36^{\circ} + 1 - \cos^2 18^{\circ}$.
2. 2
   Из двойного угла: $\cos 36^{\circ} = 2\cos^2 18^{\circ} - 1$. Подставляем в числитель: $(2\cos^2 18^{\circ} - 1) + 1 - \cos^2 18^{\circ} = \cos^2 18^{\circ}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Найдите: 2sin 165° cos 165° = ?

Найдите: $2\sin 165^\circ \cos 165^\circ = \text{?}$

1. 1
   Применяем формулу двойного угла для синуса: $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$$$2\sin 165^\circ \cos 165^\circ = \sin(2\cdot 165^\circ)$$
2. 2
   Вычисляем удвоенный угол: $2\cdot 165^\circ = 330^\circ$$$\sin(330^\circ)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Найдите значение выражения: $\sin\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{

Найдите значение выражения: $\sin\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{2} ight) + \operatorname{arctg}\sqrt{3} - \pi\right)$

1. 1
   Вычислим каждое обратное тригонометрическое значение по их основным значениям:
2. 2
   arcsin(√3/2) = π/3, так как sin(π/3) = √3/2 и π/3 ∈ [-π/2, π/2]

Ещё 4 шага — в полном решении

Вычислите arcsin√3/2 + arctg(-1/√3)

Вычислите $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})$

Определите степень многочлена: 7x⁴y⁵ + 3y⁶ - 5xy⁷ - 2.

Определите степень многочлена: $7x^4y^5 + 3y^6 - 5xy^7 - 2$.

1. 1
   Степень многочлена — это максимальная сумма показателей степеней переменных в одном из его членов.
2. 2
   Найдём степень каждого члена: $7x^4y^5$ — степень $4+5=9$; $3y^6$ — степень $0+6=6$; $-5xy^7$ — степень $1+7=8$; $-2$ — степень $0$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Запишите одночлен в стандартном виде: 4/5a²b² · 30b² · c⁶a¹⁰

Запишите одночлен в стандартном виде: $\frac{4}{5}a^2b^2 \cdot 30b^2 \cdot c^6a^{10}$

1. 1
   Сократите числовой коэффициент: $\frac{4}{5} \cdot 30 = 24$$$\frac{4}{5} \cdot 30 = 24$$
2. 2
   Сложите степени одинаковых переменных: $a^2 \cdot a^{10} = a^{12}$, $b^2 \cdot b^2 = b^4$, $c^6$ остаётся без изменений$$a^2 \cdot a^{10} = a^{12},\quad b^2 \cdot b^2 = b^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Данное выражение -(3,5x-y)+3(-2y+0,5x) имеет стандартный вид

Данное выражение $-(3,5x-y)+3(-2y+0,5x)$ имеет стандартный вид

1. 1
   Раскрыть скобки с учётом знаков перед ними: $-(3,5x - y) = -3,5x + y$, $3(-2y + 0,5x) = -6y + 1,5x$
2. 2
   Сложить полученные выражения: $(-3,5x + y) + (-6y + 1,5x) = (-3,5x + 1,5x) + (y - 6y) = -2x - 5y$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Если a + b = -3, ab=2, то значение выражения a²b + ab² равно

Если $a + b = -3, ab=2$, то значение выражения $a^2b + ab^2$ равно

1. 1
   Вынесем общий множитель ab из выражения a²b + ab².$$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$$
2. 2
   Подставляем известные значения: ab = 2 и a + b = -3.$$ab(a + b) = 2 \cdot (-3)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Factorize the given expression: $\left(\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y}\right) : \frac{xy}{x+

Factorize the given expression: $\left(\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y}\right) : \frac{xy}{x+y}$

1. 1
   Сначала упрости выражение в скобках: найди общий знаменатель для дробей $\frac{x}{x-y}$ и $\frac{x}{x+y}$. Общий знаменатель — $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Тогда…$$\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y} = \frac{2xy}{x^2-y^2}$$
2. 2
   Теперь раздели это на $\frac{xy}{x+y}$, т.е. умножь на обратную дробь: $\frac{2xy}{x^2-y^2} : \frac{xy}{x+y} = \frac{2xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{xy}$. Сократи $xy$ в числителе и знаменателе…$$\frac{2xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{xy} = \frac{2(x+y)}{x^2-y^2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разложите дробь на множители: (6mn-15mp-4qn +10qp)/(3m-2q) =

Разложите дробь на множители: $\frac{6mn-15mp-4qn +10qp}{3m-2q} =$

1. 1
   Выделим общий множитель в числителе, сгруппировав члены попарно: $6mn-15mp = 3m(2n-5p)$, $-4qn+10qp = -2q(2n-5p)$.$$6mn-15mp-4qn+10qp = 3m(2n-5p)-2q(2n-5p)$$
2. 2
   Вынесем общий множитель $(2n-5p)$ из скобок: $(3m-2q)(2n-5p)$.$$3m(2n-5p)-2q(2n-5p) = (3m-2q)(2n-5p)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычислите: $ 4 \cos \frac{\pi}{6} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} + 9 \operatorname{ctg}

Вычислите: $ 4 \cos \frac{\pi}{6} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} + 9 \operatorname{ctg} \frac{2\pi}{3} $

1. 1
   Вычислите каждое тригонометрическое значение по отдельности: $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$…
2. 2
   Подставьте значения в выражение: $4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - \frac{9}{\sqrt{3}}$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выражение 12x² - 36xy + 27y² равно:

Выражение $12x^2 - 36xy + 27y^2$ равно:

1. 1
   Вынести наибольший общий множитель из всех членов многочлена.$$12x^2 - 36xy + 27y^2 = 3(4x^2 - 12xy + 9y^2)$$
2. 2
   Узнать, является ли выражение в скобках квадратом суммы (или разности).$$4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = (2x - 3y)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите значение выражения: $\left(\cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{12}\right) \cdot \

Найдите значение выражения: $\left(\cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{12}\right) \cdot \left(\sin\frac{\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12}\right)$

1. 1
   Применим формулы суммы-разности для косинусов и синусов: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2), sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2).$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \quad \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
2. 2
   Пусть A = 5π/12, B = π/12. Тогда (A+B)/2 = (6π/12)/2 = π/4, (A-B)/2 = (4π/12)/2 = π/6.$$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Ещё 3 шага — в полном решении