Решения заданий ФИПИ ЕНТ по математике: «Решение неравенств» — с ответами

Решите неравенство: |x² + 6x| ≤ 0

Решите неравенство: $|x^2 + 6x| \leq 0$

1. 1
   Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, неравенство |x^2+6x| ≤ 0 выполняется только тогда, когда выражение внутри модуля равно нулю.
2. 2
   Приравниваем аргумент модуля к нулю.$$x^2+6x=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите решение системы неравенств: $\begin{cases} \frac{7x-2}{x-3} \geq 0 \\ \frac{5x+1}{

Найдите решение системы неравенств: $\begin{cases} \frac{7x-2}{x-3} \geq 0 \\ \frac{5x+1}{6-x} \leq 1 \end{cases}$

Решите неравенство: cos x ≥ -1/√2

Решите неравенство: $\cos x \ge -\frac{1}{\sqrt{2}}$

1. 1
   Решаем неравенство $\cos x \ge -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Найдём углы, при которых $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Это $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. 2
   Поскольку косинус убывает на $[0,\pi]$, то $\cos x \ge -\frac{1}{\sqrt{2}}$ выполняется, когда $x$ лежит между двумя последовательными решениями уравнения $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ на единичной окружности.

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите наибольшее целое решение системы неравенств $\begin{cases} |x+5|<10 \\ \frac{x^2-4

Найдите наибольшее целое решение системы неравенств $\begin{cases} |x+5|<10 \\ \frac{x^2-4x+3}{x^2-9}>1 \end{cases}$

1. 1
   Реши первое неравенство: $|x+5|<10$ эквивалентно $-10 < x+5 < 10$, откуда $-15 < x < 5$.
2. 2
   Реши второе неравенство: $\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}>1$ перепишем как $\frac{x^2-4x+3 - (x^2-9)}{x^2-9}>0 \Rightarrow \frac{-4x+12}{(x-3)(x+3)}>0 \Rightarrow \frac{-4(x-3)}{(x-3)(x+3)}>0$ при $x\neq3$. Сокращаем $(x-3)$ (учитывая, что…

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + 2 > 3 \\ \frac{x - 6}{2} + 7 \le \

Решите систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + 2 > 3 \\ \frac{x - 6}{2} + 7 \le \frac{2 - 3x}{5} + 2x \end{cases} $

Решите неравенство: (x - 4)²(3 - x)(5x + 10) ≥ 0

Решите неравенство: $(x - 4)^2(3 - x)(5x + 10) \ge 0$

1. 1
   Найдём корни выражения: $(x-4)^2=0$ при $x=4$, $3-x=0$ при $x=3$, $5x+10=0$ при $x=-2$. Кратности: у $(x-4)^2$ — чётная (2), у $(3-x)$ и $(5x+10)$ — нечётные (по 1).
2. 2
   Запишем неравенство в виде произведения с учётом знаков: $5(x+1)(x-4)^2(3-x) \ge 0$ (вынесем положительный множитель 5, не влияющий на знак). Множитель $(x-4)^2 \ge 0$ всегда, равен нулю только при $x=4$. Знак определяется $(x+1)(3-x)$…

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решите систему неравенств $\begin{cases} 5(x-4) \le 1 - 2x \\ 3x - 1 < 15 + 11x \end{cases

Решите систему неравенств $\begin{cases} 5(x-4) \le 1 - 2x \\ 3x - 1 < 15 + 11x \end{cases}$

1. 1
   Решаем первое неравенство: $5(x-4) \le 1 - 2x$ раскрываем скобки: $5x - 20 \le 1 - 2x$ переносим члены: $5x + 2x \le 1 + 20 \Rightarrow 7x \le 21 \Rightarrow x \le 3$$$7x \le 21$$
2. 2
   Решаем второе неравенство: $3x - 1 < 15 + 11x$ переносим члены: $3x - 11x < 15 + 1 \Rightarrow -8x < 16 \Rightarrow x > -2$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)$$-8x < 16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите неравенство: 4/(2x-9) > 0

Решите неравенство: $\frac{4}{2x-9} > 0$

1. 1
   Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки.
2. 2
   Числитель 4 > 0 всегда, поэтому знаменатель должен быть > 0.

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите логарифмическое неравенство: log₂ x + logₓ 8 - 4 < 0

Решите логарифмическое неравенство: $\log_2 x + \log_x 8 - 4 < 0$

1. 1
   Область допустимых значений: $x>0$, $x\neq1$. Обозначим $t=\log_2 x$ ($t\neq0$). Тогда $\log_x 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 x} = \frac{3}{t}$.
2. 2
   Неравенство становится $t + \frac{3}{t} - 4 < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{t^2-4t+3}{t} < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{(t-1)(t-3)}{t} < 0$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите систему неравенств: $\begin{cases} 2\sin2x + \sqrt{2} \ge 0, \ 2\cos2x-1 \le 0. \en

Решите систему неравенств: $\begin{cases} 2\sin2x + \sqrt{2} \ge 0, \ 2\cos2x-1 \le 0. \end{cases}$

1. 1
   Первое неравенство: $2\sin 2x + \sqrt{2} \ge 0 \Rightarrow \sin 2x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решение: $2x \in \left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right]$, значит…
2. 2
   Второе неравенство: $2\cos 2x - 1 \le 0 \Rightarrow \cos 2x \le \frac{1}{2}$. Решение: $2x \in \left[\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right]$, значит $x \in \left[\frac{\pi}{6} + \pi k,\ \frac{5\pi}{6} + \pi k\right]$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите систему неравенств: 24x-8>0 ; -36x+12>0

Решите систему неравенств: $\begin{cases} 24x-8>0 \\ -36x+12>0 \end{cases}$

1. 1
   Решим каждое неравенство системы по отдельности.$$24x-8>0 \Rightarrow 24x>8 \Rightarrow x>\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Решим второе неравенство.$$-36x+12>0 \Rightarrow -36x>-12 \Rightarrow x<\frac{-12}{-36}=\frac{1}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решите: -2x+7<4x-11

Решите: $-2x+7<4x-11$

Решите систему неравенств: $\begin{cases} \sqrt{4x-7} < x \\ \sqrt{x+5} + \sqrt{5-x} > 4 \

Решите систему неравенств: $\begin{cases} \sqrt{4x-7} < x \\ \sqrt{x+5} + \sqrt{5-x} > 4 \end{cases}$, и укажите количество целых решений системы неравенств

1. 1
   Определим область допустимых значений для каждого неравенства. Для первого: выражение под корнем должно быть неотрицательным → $4x-7 \ge 0$ → $x \ge \frac{7}{4}$. Также сам корень неотрицателен, поэтому правая часть должна быть…
2. 2
   Возведём обе части первого неравенства в квадрат (оба члена неотрицательны): $\sqrt{4x-7} < x \implies 4x-7 < x^2 \implies x^2 - 4x + 7 > 0$. Дискриминант: $D = 16 - 28 = -12 < 0$, квадратичный трёхчлен всегда положителен → неравенство…

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите систему неравенств: $\begin{cases} 3^{x-2} < \frac{3}{\sqrt{9}} \\ 6^{x+2} >

Решите систему неравенств: $\begin{cases} 3^{x-2} < \frac{3}{\sqrt{9}} \\ 6^{x+2} > 2^{x^2} \cdot 3^{x+2} \end{cases}$

Вычислите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} 2

Вычислите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} 2x + 5 < 3 \\ x^2 - 5x \le 24 \end{cases}$

Решите систему неравенств: $\begin{cases} 5^{\log_5 (1-x)} < 3 \\ \log_{0,2} (22 + 3^x) >

Решите систему неравенств: $\begin{cases} 5^{\log_5 (1-x)} < 3 \\ \log_{0,2} (22 + 3^x) > -2 \end{cases}$

(x² + 2x)/(log_(0.2) (x + 2)) > 0 теңсіздігінің шешімін көрсетіңіз.

$\frac{x^2 + 2x}{\log_{0.2} (x + 2)} > 0$ теңсіздігінің шешімін көрсетіңіз.

Решите неравенство: logₓ (3-2x)>1

Решите неравенство: $\log_x (3-2x)>1$

1. 1
   Условия определения логарифма: основание x>0, x≠1, аргумент 3-2x>0 → x<1.5. Следовательно, область определения: (0;1) ∪ (1;1.5).
2. 2
   Рассматриваем два случая в зависимости от основания логарифма.

Ещё 3 шага — в полном решении

Теңсіздікті шешіңіз: 3²ˣ⁺² -3ˣ⁺⁴ < 3ˣ -9

Теңсіздікті шешіңіз: $3^{2x+2} -3^{x+4} < 3^x -9$

1. 1
   Поделим обе части неравенства на $3^x > 0$, чтобы упростить показатели.$$3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9 \\ \Rightarrow 3^{x+2} - 3^4 < 1 - 9 \cdot 3^{-x}$$
2. 2
   Сделаем замену $t = 3^x > 0$. Тогда $3^{2x} = t^2$, $3^{x+2} = 9t$, $3^{x+4} = 81t$.$$9t^2 - 81t < t - 9$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите неравенство: √(2 + x) · √(2 - x) < 0

Решите неравенство: $\sqrt{2 + x} \cdot \sqrt{2 - x} < 0$

1. 1
   Найти область определения произведения под корнями: $2 + x \ge 0$ и $2 - x \ge 0$ → $x \in [-2, 2]$.
2. 2
   В этой области оба корня неотрицательны, поэтому их произведение $\ge 0$.

Ещё 1 шаг — в полном решении