Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 3. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

1. 1
   Пусть исходные множители равны $a$ и $b$. По условию:$$(a+1)(b+1)-ab=3$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+a+b+1-ab=3 \Rightarrow a+b=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,4 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м, а длина 5,2 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Найдём точную площадь комнаты как площадь прямоугольника:$$S = 3 \cdot 5{,}2 = 15{,}6\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько квадратных метров точная площадь отличается от указанной на плане:$$15{,}6 - 15{,}4 = 0{,}2\ \text{м}^2$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 16 - \log_2 4$.

1. 1
   Представим числа под знаками логарифмов как степени двойки.$$16 = 2^4, \quad 4 = 2^2$$
2. 2
   Вычислим логарифмы и найдём их разность.$$\log_2 16 - \log_2 4 = 4 - 2 = 2$$

Покупка сырков на сумму

Сырок стоит 16 рублей. Какое наибольшее число сырков можно купить на 120 рублей?

1. 1
   Чтобы определить количество сырков, разделим имеющуюся сумму на стоимость одного сырка.$$120 : 16 = 7{,}5$$
2. 2
   Число сырков должно быть целым, поэтому берём целую часть результата.$$\lfloor 7{,}5 \rfloor = 7$$

Составление суммы из карточек

На шести карточках написаны цифры 2; 3; 5; 6; 7; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…

1. 1
   Чтобы сумма делилась на 10, сумма цифр в разрядах единиц трёх слагаемых должна оканчиваться на 0. Возьмём для этих разрядов цифры 2, 3 и 5: $2 + 3 + 5 = 10$.
2. 2
   Оставшиеся цифры 6, 7 и 7 расставим так, чтобы получить сумму $672 + 73 + 5$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана и высота треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 40$, $AC = 84$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42$$
2. 2
   Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость бегуна

Бегун пробежал дистанцию 375 метров за 54 секунды. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

1. 1
   Переведём расстояние и время в единицы, указанные в ответе:$$375\ \text{м} = 0{,}375\ \text{км},\qquad 54\ \text{с} = \frac{54}{3600}\ \text{ч} = 0{,}015\ \text{ч}$$
2. 2
   Вычислим среднюю скорость бегуна:$$v = \frac{s}{t} = \frac{0{,}375}{0{,}015} = 25\ \text{км/ч}$$

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 7 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Тогда по условию набранных очков:$$5x - 7y = 60$$
2. 2
   Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$. Кроме того, количество ошибок не может превышать 25. Из уравнения видно, что $60 + 7y$ должно делиться на 5, поэтому $y$ кратно 5.

Ещё 2 шага — в полном решении

Расчёт сдачи на бензоколонке

На бензоколонке один литр бензина стоит 59 рублей. Водитель залил в бак 10 литров бензина и взял бутылку воды за 107 рублей. Сколько рублей сдачи он получит с 1000 рублей?

1. 1
   Вычислим стоимость бензина:$$59 \cdot 10 = 590$$
2. 2
   Найдём общую стоимость покупки, прибавив стоимость бутылки воды:$$590 + 107 = 697$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $6 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 26 пар соседних клеток разного цвета и 6 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 6 строк есть 5 пар соседних клеток по горизонтали.$$6 \cdot 4 = 24$$
2. 2
   В каждом из 5 столбцов есть 5 пар соседних клеток по вертикали.$$5 \cdot 5 = 25$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Билеты на все аттракционы

В городском парке работает 5 аттракционов: карусель, колесо обозрения, автодром, «Ромашка» и «Весёлый тир». В кассах продаётся 6 видов билетов, каждый из которых на один или два аттракциона. Какие…

1. 1
   Билеты 2 и 5 позволяют посетить «Ромашку», «Весёлый тир», карусель и автодром.
2. 2
   Для посещения колеса обозрения добавим билет 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее число пионов

На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Пионы стоят 60 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа пионов он может купить букет Маше на день…

1. 1
   Определим максимальное количество пионов, которое можно купить на 500 рублей:$$\left\lfloor\frac{500}{60}\right\rfloor = 8$$
2. 2
   Букет должен содержать нечётное число цветов. Наибольшее нечётное число, не превышающее 8, равно 7.$$7 \cdot 60 = 420 \leq 500$$

Экономия на подписке

Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 640 рублей, а стоимость одного номера журнала в киоске — 29 рублей. За полгода Аня купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы…

1. 1
   Найдём, сколько рублей Аня потратила бы на покупку 25 номеров в киоске.$$29 \cdot 25 = 725$$
2. 2
   Вычтем стоимость подписки из стоимости покупки отдельных номеров.$$725 - 640 = 85$$

Расчёт количества пачек чая

Каждый день во время конференции расходуется 80 пакетиков чая. Конференция длится 3 дня. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

1. 1
   Найдём общее количество пакетиков чая, необходимое на три дня:$$80 \cdot 3 = 240$$
2. 2
   Определим количество пачек. Двух пачек хватит только на 200 пакетиков, поэтому необходимо взять три пачки.$$\left\lceil \dfrac{240}{100} \right\rceil = 3$$

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Галя, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Галя живёт в квартире № 82. В каком подъезде живёт Галя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 4 = 36$$
2. 2
   Первые два подъезда содержат $36 \cdot 2 = 72$ квартиры. Квартира № 82 находится после квартиры № 72, но не превышает номер 108, поэтому она расположена в третьем подъезде.$$72 < 82 \leqslant 108$$

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию ученик набрал 40 очков:$$5x-12y=40$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x=8+\frac{12}{5}y$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\mathrm{м/с^2}$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\mathrm{с^{-1}}$), а $R$ — радиус…

1. 1
   Подставим данные в формулу ускорения:$$a = \omega^2 R = 16^2 \cdot 0{,}5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$a = 256 \cdot 0{,}5 = 128$$

Преобразование выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{44}-\sqrt{11})\cdot\sqrt{11}$.

1. 1
   Раскроем скобки и перемножим корни:$$\sqrt{44}\cdot\sqrt{11}-\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}=\sqrt{484}-11$$
2. 2
   Вычислим значение полученного выражения:$$22-11=11$$

Пакетики лимонной кислоты

Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 18 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продаётся в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пакетиков лимонной кислоты нужно хозяйке…

1. 1
   Найдём массу лимонной кислоты, необходимую для 6 литров маринада.$$18 \cdot 6 = 108\ \text{г}$$
2. 2
   Каждый пакетик содержит 10 г кислоты, поэтому вычислим необходимое число пакетиков.$$108 : 10 = 10{,}8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на розлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   При увеличении объёма бутылки с 1 до 2 литров цена увеличивается на стоимость одного литра кваса.$$110 - 70 = 40$$
2. 2
   Стоимость трёхлитровой бутылки найдём, добавив к цене однолитровой бутылки стоимость ещё двух литров кваса.$$70 + 2 \cdot 40 = 150$$