Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Теория вероятностей» — с ответами

Вероятность спортсмена из Франции

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 спортсменов из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены…

1. 1
   Определим общее число спортсменов:$$6 + 3 + 6 + 10 = 25$$
2. 2
   Благоприятными являются случаи, когда последним выступает один из 3 спортсменов из Франции.$$P = \dfrac{3}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность скрытого дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 150 сумок, поступивших в продажу, 3 сумки имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется со скрытым дефектом.

1. 1
   Число благоприятных исходов равно 3, а общее число исходов равно 150.
2. 2
   Вероятность выбрать сумку со скрытым дефектом равна отношению числа дефектных сумок к общему числу сумок.$$P = \dfrac{3}{150} = 0.02$$

Вероятность исправного насоса

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Найдём количество насосов, которые не подтекают:$$1400-14=1386$$
2. 2
   Вероятность выбрать насос, который не подтекает, равна отношению числа исправных насосов к общему числу насосов:$$P=\dfrac{1386}{1400}=0{,}99$$

Вероятность двух бракованных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,5. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся бракованными.

1. 1
   События, связанные с качеством двух батареек, считаем независимыми.$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$$
2. 2
   Подставим вероятность брака каждой батарейки:$$P=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25$$

Вероятность удобного места

На борту самолёта 24 места расположены рядом с запасными выходами и 12 мест — за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Г. высокого…

1. 1
   Удобными для пассажира высокого роста являются места рядом с запасными выходами и места за перегородками.$$24 + 12 = 36$$
2. 2
   Вероятность случайно получить удобное место равна отношению числа удобных мест к общему числу мест.$$P = \dfrac{36}{100} = 0{,}36$$

Вероятность выбора билета

В сборнике билетов по истории всего 25 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме «Великая Отечественная Война». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику…

1. 1
   Общее число билетов равно 25, а благоприятных билетов — 18.$$n=25,\quad m=18$$
2. 2
   Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P=\dfrac{m}{n}=\dfrac{18}{25}=0{,}72$$

Вероятность выбрать гуся

На птицеферме есть только куры и гуси, причём кур в 15 раз больше, чем гусей. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме птица окажется гусем.

1. 1
   Пусть на ферме $x$ гусей. Тогда кур в 15 раз больше, то есть $15x$.$$N_{\text{гуси}}=x,\quad N_{\text{куры}}=15x$$
2. 2
   Общее количество птиц равно $16x$.$$N_{\text{всего}}=x+15x=16x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления китайца

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 спортсменов из России и 7 спортсменов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Вторым с одинаковой вероятностью может выступить любой из 20 спортсменов.
2. 2
   Благоприятными являются 7 случаев, когда вторым выступает спортсмен из Китая.$$P = \dfrac{7}{20}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Коли было четыре конфеты — «Мишка», «Маска», «Грильяж» и «Красная шапочка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Коля случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность…

1. 1
   Всего в кармане было четыре конфеты, поэтому число всех равновозможных исходов равно 4.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятный исход только один — выпадение конфеты «Маска».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выученного билета

На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Число выученных билетов равно разности общего числа билетов и числа невыученных билетов.$$50-7=43$$
2. 2
   Вероятность того, что попадётся выученный билет, равна отношению числа выученных билетов к общему числу билетов.$$P=\dfrac{43}{50}=0{,}86$$

Вероятность объединения событий

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это…

1. 1
   События «вопрос по теме “Вписанная окружность”» и «вопрос по теме “Тригонометрия”» несовместны, так как общих вопросов нет.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Находим вероятность того, что вопрос относится к одной из двух тем:$$P(A \cup B) = 0{,}2 + 0{,}25 = 0{,}45$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 25 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$25 - 5 = 20$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа таких чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{20}{25} = 0{,}8$$

Вероятность двух девочек

11 апреля на запись в первый класс независимо друг от друга пришли два будущих первоклассника. Считая, что приходы мальчика и девочки равновероятны, найдите вероятность того, что обе пришедшие…

1. 1
   Вероятность того, что один пришедший оказался девочкой, равна $\frac{1}{2}$.
2. 2
   Так как приходы независимы, вероятности двух событий перемножаются.$$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора Насти

Маша, Настя, Толя, Ренат и Максим бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Настя.

1. 1
   Всего участников жеребьёвки пять: Маша, Настя, Толя, Ренат и Максим.$$n = 5$$
2. 2
   Благоприятный исход один: начинать игру будет Настя.$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность удобного места

На борту самолёта 19 мест рядом с запасными выходами и 13 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Л. высокого роста. Найдите…

1. 1
   Число удобных мест равно сумме мест рядом с запасными выходами и мест за перегородками:$$19+13=32$$
2. 2
   Вероятность случайно получить удобное место равна отношению числа удобных мест к общему числу мест:$$P=\dfrac{32}{400}=0.08$$

Вероятность жёлтого такси

В фирме такси в данный момент свободно 60 машин: 28 чёрных, 18 жёлтых и 14 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Всего возможных машин для выезда 60, благоприятных исходов — 18 жёлтых машин.$$m = 18,\quad n = 60$$
2. 2
   По классическому определению вероятности:$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{18}{60} = 0{,}3$$

Вероятность исправного насоса

В среднем из 50 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 насоса подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Найдём количество насосов, которые не подтекают:$$50 - 4 = 46$$
2. 2
   Вероятность выбрать насос, который не подтекает, равна отношению числа исправных насосов к общему числу насосов:$$P = \dfrac{46}{50} = 0{,}92$$

Вероятность запасной аудитории

На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух аудиториях сажают по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте…

1. 1
   Найдём число участников, писавших олимпиаду в запасной аудитории:$$400 - 2 \cdot 130 = 140$$
2. 2
   Вероятность выбираемого участника оказаться в запасной аудитории равна отношению числа таких участников к общему числу участников:$$P = \dfrac{140}{400} = 0{,}35$$

Вероятность комплимента в кафе

В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения, которого нет в меню. Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут тарталетку с сыром, равна 0,25…

1. 1
   Тарталетка с сыром и рогалик — несовместимые события, поскольку посетителю приносят только один комплимент.$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$$
2. 2
   Подставим данные из условия:$$P=0{,}25+0{,}35=0{,}6$$

Вероятность пирожка с мясом

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 9 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что этот пирожок окажется с мясом.

1. 1
   Найдём общее количество пирожков:$$4+9+3=16$$
2. 2
   Благоприятными являются 4 исхода — выбор пирожка с мясом. Поэтому вероятность равна:$$P=\dfrac{4}{16}=0{,}25$$