Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$ значения $a = 12$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$.$$R = \dfrac{12}{2 \cdot \frac{1}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$R = \dfrac{12}{\frac{2}{3}} = 18$$

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p=\dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 8, 29…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p=\frac{8+29+35}{2}=36$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S=\sqrt{36(36-8)(36-29)(36-35)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p=\frac{3+25+26}{2}=27$$
2. 2
   Подставим значения сторон и полупериметра в формулу Герона:$$S=\sqrt{27(27-3)(27-25)(27-26)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$21 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot d_2 \cdot \frac{6}{11}$$
2. 2
   Упростим коэффициент при $d_2$:$$21 = \frac{21}{11}d_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 9. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, а поскольку она также является биссектрисой угла $B$, треугольники $ABM$ и $CBM$ равны. Следовательно, $AB = BC$.
2. 2
   Угол $B$ равен $120^\circ$, поэтому биссектриса делит его на два угла по $60^\circ$: $\angle ABM = 60^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагоналям

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 42 и 56. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $42:2=21$ и $56:2=28$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 52 и 88, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований трапеции равна $88-52=36$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми сторонами, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $36:2=18$.$$x=\frac{88-52}{2}=18$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 30 и катетом 18.$$h=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 24, одна из средних линий равна 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, параллельной ей. Поэтому катет, параллельный средней линии, равен:$$b = 2 \cdot 5 = 10$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 34$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ supplementary внешнему углу:$$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет $AC$ прилежит к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза:$$\cos 60^\circ = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь озера Карьер

На фрагменте географической карты схематично изображены границы города Выксы и очертания водоёмов. Длина стороны квадратной клетки равна 1 км. Оцените приближённо площадь озера Карьер в квадратных…

1. 1
   Рассмотрим заштрихованную область озера Карьер на квадратной сетке. Сторона клетки равна 1 км, поэтому площадь одной клетки составляет $1\ \text{км}^2$.$$S_{\text{клетки}}=1^2=1\ \text{км}^2$$
2. 2
   По сумме целых клеток и частей клеток площадь озера оценивается примерно в $1\ \text{км}^2$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Выделенный участок имеет форму трапеции. По клеткам определяем длины её оснований и высоту: основания равны $2$ м и $6$ м, высота равна $3$ м.$$a=2,\quad b=6,\quad h=3$$
2. 2
   Вычисляем площадь трапеции:$$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=\dfrac{2+6}{2}\cdot3=12\ \text{м}^2$$

Площадь прямоугольного участка

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь прямоугольного участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По плану длина прямоугольного участка равна $4$ м, а ширина — $5$ м.$$a = 4\ \text{м},\quad b = 5\ \text{м}$$
2. 2
   Вычислим площадь прямоугольника.$$S = ab = 4 \cdot 5 = 20\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. Его вертикальное основание занимает 7 клеток, то есть имеет длину 7 м.$$a = 7\ \text{м}$$
2. 2
   Высота треугольника, перпендикулярная этому основанию, занимает 4 клетки, то есть равна 4 м.$$h = 4\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника.
2. 2
   По клеткам определяем основание и высоту треугольника: $a = 4$ м, $h = 4$ м.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь кольца на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 27. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По рисунку радиус внешнего круга в 2 раза больше радиуса внутреннего круга.$$R = 2r$$
2. 2
   Площадь внешнего круга в 4 раза больше площади внутреннего круга, так как площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.$$S_{\text{внеш}} = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4S_{\text{внутр}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь кольца по клеткам

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 11. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По рисунку радиус внешнего круга в 2 раза больше радиуса внутреннего круга.$$R = 2r$$
2. 2
   Площадь заштрихованного кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов.$$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(2r)^2 - \pi r^2 = 3\pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка по клеткам

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ м \times 1\ м$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь одной клетки составляет $1\ \text{м}^2$.
2. 2
   Подсчитываем площадь участка по клеткам плана: всего получается 21 квадратная единица.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь кольцевой фигуры

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 29. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По клетчатой сетке видно, что радиус внешнего круга в 2 раза больше радиуса внутреннего круга.$$R = 2r$$
2. 2
   Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому площадь внешнего круга в 4 раза больше площади внутреннего.$$S_{\text{внеш}} = 4S_{\text{внутр}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка по плану

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ м \times 1\ м$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Одна клетка представляет квадрат со стороной $1\ \text{м}$, поэтому её площадь равна:$$S_1 = 1 \cdot 1 = 1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Подсчитываем количество клеток, занимаемых участком: 18 клеток.$$S = 18 \cdot 1 = 18\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь одной клетки равна произведению длины и ширины её стороны:$$S_1 = 1 \cdot 1 = 1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Разобьём изображённый участок на простые фигуры и учтём диагональную границу. Суммарная площадь получившихся частей равна:$$S = 14 \cdot 1 = 14\ \text{м}^2$$