Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Удлинение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают пружину, $x$ — абсолютное удлинение пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь…

1. 1
   Выразим абсолютное удлинение пружины из закона Гука:$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим заданные значения силы и коэффициента упругости:$$x = \dfrac{80}{5} = 16$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2 = \dfrac{2 \cdot 51}{17 \cdot \frac{1}{3}} = \dfrac{102 \cdot 3}{17} = 18$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим значения $a=6$, $b=8$ и $c=7$ в формулу.$$l_c=\dfrac{1}{6+8}\sqrt{6\cdot8\left((6+8)^2-7^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$6\cdot8\left(14^2-7^2\right)=48\cdot147=7056$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость падающего камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Используем формулу скорости падения и подставляем известные значения высоты и ускорения свободного падения.$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}9}$$
2. 2
   Вычисляем значение корня.$$v = \sqrt{17{,}64} = 4{,}2\ \text{м/с}$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия $W$ (в Дж) заряженного конденсатора вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим значения заряда и ёмкости в формулу:$$W = \dfrac{(0{,}03)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель:$$(0{,}03)^2 = 0{,}0009, \quad 2 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 0{,}001$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 5…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{5+29+30}{2} = 32$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{32(32-5)(32-29)(32-30)} = \sqrt{32 \cdot 27 \cdot 3 \cdot 2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт мощности тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = \dfrac{U^2}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах)…

1. 1
   Подставим в формулу значения $U = 12$ В и $R = 6$ Ом.$$P = \dfrac{12^2}{6}$$
2. 2
   Возведём напряжение в квадрат и разделим результат на сопротивление.$$P = \dfrac{144}{6} = 24$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 3$…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{11})^2 - 6^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{11})^2 - 6^2 = 18 + 22 - 36 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 8} = \dfrac{4}{40} = 0{,}1$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим данные в формулу радиуса описанной окружности.$$R = \dfrac{12}{2 \cdot \frac{2}{5}}$$
2. 2
   Упростим знаменатель и разделим число на дробь.$$R = \dfrac{12}{\frac{4}{5}} = 12 \cdot \dfrac{5}{4} = 15$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Вычислим сумму и произведение заданных сторон:$$a+b=3+12=15,\quad ab=3\cdot12=36$$
2. 2
   Найдём квадрат стороны $c$:$$c^2=(10\sqrt{2})^2=200$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры по шкале

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 194$ в формулу перевода температуры.$$t_C = \dfrac{5}{9}(194 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 162 = 90$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим значения $a=7$, $b=21$ и $c=26$ в формулу.$$l_c=\dfrac{1}{7+21}\sqrt{7\cdot21\left((7+21)^2-26^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$(7+21)^2-26^2=28^2-26^2=108$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2 t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $U = 6$, $t = 8$ и $R = 2$.$$A = \dfrac{6^2 \cdot 8}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = \dfrac{36 \cdot 8}{2} = 144$$

Теорема синусов и угол

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha=\frac{4\cdot\frac{1}{10}}{1}=0.4$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$25{,}5 = \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot d_2 \cdot \dfrac{3}{13}$$
2. 2
   Сократим множители и найдём длину диагонали:$$25{,}5 = 1{,}5d_2,\qquad d_2 = \dfrac{25{,}5}{1{,}5} = 17$$

Перевод градусов Фаренгейта

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 212$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \dfrac{5}{9}(212 - 32)$$
2. 2
   Вычислим разность в скобках и умножим на дробь:$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 180 = 100$$

Растяжение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Из закона Гука выразим абсолютное растяжение пружины:$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим заданные значения силы и коэффициента упругости:$$x = \dfrac{36}{3} = 12$$

Кинетическая энергия тела

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в $\text{м}/\text{с}$). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $m = 12\ \text{кг}$ и $v = 5\ \text{м}/\text{с}$.$$E = \dfrac{12 \cdot 5^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{12 \cdot 25}{2} = 150$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 8, 16, 32.

1. 1
   Подставим числа 8, 16 и 32 в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{8 \cdot 16 \cdot 32}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{4096} = \sqrt[3]{16^3} = 16$$