141ФИПИ 907BA6№ 23Күрделі Укажите значения логических переменных $K$, $L$, $M$, $N$, при которых логическое выражение $(K \lor M) \to (M \lor \lnot L \lor N)$ ложно.
- 1
Импликация ложна только тогда, когда её левая часть истинна, а правая часть ложна.$$K \lor M = 1,\quad M \lor \lnot L \lor N = 0$$
- 2
Правая дизъюнкция равна нулю только в том случае, если все её переменные-условия равны нулю: $M=0$, $\lnot L=0$, $N=0$.$$M=0,\quad L=1,\quad N=0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
142ФИПИ 930944№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \land \neg y) \lor (x \equiv z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Проверяем порядок столбцов $w$, $z$, $y$, $x$.
- 2
Во второй строке значения переменных равны $w=1$, $z=1$, $y=1$, $x=0$. Значение функции:$$(0 \land \neg 1) \lor (0 \equiv 1) \lor \neg 1 = 0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
143ФИПИ 93333D№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $(\neg x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Так как значение функции во всех трёх строках равно 0, каждое слагаемое дизъюнкции должно быть равно 0. В частности, значение переменной $w$ в каждой строке, где оно известно, должно быть равно 0.
- 2
Во второй строке единицы стоят в первом и третьем столбцах. Если им соответствуют $x$ и $y$, а второй и четвёртый столбцы — $w$ и $z$, то получаем набор $x=1$, $w=0$, $y=1$, $z=1$, при котором функция равна 0.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_7, y_1, y_2, \ldots, y_7$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?…
- 1
Обозначим пару $(x_i,y_i)$ одним из төрт состояний: $00$, $01$, $10$, $11$.
- 2
Для состояния $00$ импликации истинны независимо от следующей пары, поэтому возможны все четыре перехода. Из состояния $01$ возможны переходы в $01$ и $11$. Из состояния $10$ возможен только переход в $11$. Из состояния $11$ также…
Ещё 2 қадам — толық шешімде
145ФИПИ 94D72C№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \land y) \lor (y \equiv z) \lor w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует…
- 1
Во всех трёх строках значение функции равно 0. Дизъюнкция равна 0 только тогда, когда все её части равны 0.$$(x \land y)=0,\quad (y \equiv z)=0,\quad w=0$$
- 2
Условие $(y \equiv z)=0$ означает, что значения $y$ и $z$ различны.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(99 \ne y + 2x) \lor (A < x) \lor (A < y)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$…
- 1
Логическое выражение ложно только тогда, когда ложны все три дизъюнкта.$$y + 2x = 99,\quad A \ge x,\quad A \ge y$$
- 2
Чтобы найти наибольшее возможное значение $A$, рассмотрим минимально возможное максимальное значение чисел $x$ и $y$ при условии $y+2x=99$. Равенство $x=y$ даёт $3x=99$, поэтому $x=y=33$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
147ФИПИ 95C2C8№ 23Күрделі Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x + 2y > A) \lor (y < x) \lor (x < 30)$ тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?
- 1
Чтобы дизъюнкция была ложной, все её части должны быть ложными одновременно.$$(x + 2y \leq A) \land (y \geq x) \land (x \geq 30)$$
- 2
При условиях $x \geq 30$ и $y \geq x$ минимальные неотрицательные значения переменных равны $x = 30$ и $y = 30$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
148ФИПИ 969698№ 23Күрделі Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x>A) \lor (y>A) \lor (x+2y<100)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?
- 1
Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны все её части:$$x \leq A,\quad y \leq A,\quad x+2y \geq 100$$
- 2
При ограничениях $x \leq A$ и $y \leq A$ наибольшее возможное значение суммы $x+2y$ достигается при $x=A$ и $y=A$:$$x+2y \leq A+2A=3A$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
149ФИПИ 985BA5№ 23Күрделі Логическая функция $F$ задаётся выражением $\neg x \lor y \lor (\neg z \land w)$. На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции $F$, содержащий все наборы аргументов, при которых функция…
- 1
Функция является дизъюнкцией трёх выражений. Чтобы она была ложной, каждое из них должно быть ложно.$$\neg x=0,\quad y=0,\quad \neg z\land w=0$$
- 2
Из условия $\neg x=0$ следует $x=1$. Поэтому столбец со значениями $1,1,1$ — это переменная $x$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
150ФИПИ 9992AA№ 23Күрделі Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(3x + 2y > A) \lor (y < x) \lor (x < 10)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и…
- 1
Чтобы выражение не было тождественно истинным, необходимо найти условия, при которых все три высказывания ложны.$$(3x + 2y \leq A) \land (y \geq x) \land (x \geq 10)$$
- 2
Из условий $x \geq 10$ и $y \geq x$ следует, что минимальные возможные значения переменных: $x = 10$, $y = 10$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
151ФИПИ 9A6537№ 23Күрделі Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x + 2y < A) \lor (y > x) \lor (x > 30)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и…
- 1
Чтобы исходная дизъюнкция была ложной, все её части должны быть ложными одновременно:$$x + 2y \geq A,\quad y \leq x,\quad x \leq 30$$
- 2
При условиях $y \leq x$ и $x \leq 30$ максимальное значение выражения $x + 2y$ достигается при $x = y = 30$.$$x + 2y \leq 30 + 2 \cdot 30 = 90$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
152ФИПИ 9AECAD№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \lor \neg y) \land \neg(x \equiv z) \land w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
При значении функции, равном 1, каждый множитель конъюнкции должен быть равен 1. Поэтому $w=1$, $x \ne z$ и $x \lor \neg y=1$.$$(x \lor \neg y) \land \neg(x \equiv z) \land w = 1$$
- 2
Первый столбец должен соответствовать $w$: во второй и третьей строках в нём стоит 1, а первое значение можно восстановить как 1. Четвёртый столбец не может быть $w$, поскольку в первой строке в нём стоит 0.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
153ФИПИ 9B9491№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = \neg(z \to w) \mathbin{\lor} (x \to y) \mathbin{\lor} \neg x$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных строк, не указав, какому…
- 1
Чтобы функция была равна нулю, каждый член дизъюнкции должен быть равен нулю:$$F=0 \Rightarrow \neg(z\to w)=0,\quad x\to y=0,\quad \neg x=0$$
- 2
Из условия $\neg x=0$ получаем $x=1$. Импликация $x\to y$ при $x=1$ равна нулю только при $y=0$.$$x=1,\quad y=0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_6$, которые удовлетворяют системе условий…
- 1
Условие $x_i \lor \neg x_{i+1}=1$ означает, что при $x_{i+1}=1$ обязательно $x_i=1$. Поэтому последовательность $x_1, x_2, \ldots, x_6$ не возрастает. Аналогично последовательность $y_1, y_2, \ldots, y_6$ не возрастает.$$x_i \geq x_{i+1},\quad y_i \geq y_{i+1}$$
- 2
Условия $x_i \lor \neg y_i=1$ и $x_6 \lor \neg y_6=1$ означают, что в каждой позиции значение $y_i=1$ возможно только при $x_i=1$.$$x_i \geq y_i\quad (i=1,\ldots,6)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
155ФИПИ 9EF969№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \lor \neg y) \land \neg(y \equiv z) \land w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Так как значение функции во всех трёх строках равно 1, множитель $w$ должен быть равен 1 во всех строках. Единственный столбец из одних единиц — третий, поэтому третьему столбцу соответствует $w$.$$w = 1$$
- 2
Для первых двух строк первые два столбца имеют значения $0,0$ и $0,1$, а четвёртый — значение 1. При $y=0$ условие $\neg(y \equiv z)=1$ требует $z=1$. Значит, первый столбец — $y$, а четвёртый — $z$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
156ФИПИ A06511№ 23Күрделі Миша заполнял таблицу истинности функции $ (x \lor y) \land \lnot(y \equiv z) \land \lnot w $, но успел заполнить лишь фрагменты из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Так как функция принимает значение 1, множитель $\lnot w$ также равен 1. Следовательно, $w = 0$.
- 2
Множитель $\lnot(y \equiv z)$ равен 1 только тогда, когда значения $y$ и $z$ различны.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
157ФИПИ A10658№ 23Күрделі Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(48 \ne y + 2x) \lor (A < x) \lor (A < y)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$…
- 1
Дизъюнкция может принимать значение 0 только тогда, когда все три её части равны 0.$$(48 \ne y + 2x) = 0,\quad (A < x) = 0,\quad (A < y) = 0$$
- 2
Следовательно, для ложности выражения должны одновременно выполняться условия:$$y + 2x = 48,\quad x \leq A,\quad y \leq A$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
158ФИПИ A43280№ 23Күрделі Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x > A) \lor (y > A) \lor (x + 2y < 100)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и…
- 1
Выражение должно быть истинным при любых $x$ и $y$. Найдём условие, при котором оно ложно:$$\neg(x>A) \land \neg(y>A) \land \neg(x+2y<100)$$
- 2
С учётом целочисленных значений это означает:$$x \leq A,\quad y \leq A,\quad x+2y \geq 100$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
159ФИПИ A6074C№ 23Күрделі На числовой прямой даны два отрезка: $B = [15; 40]$ и $C = [21; 63]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение…
- 1
Если $x \in B$, то выражение $\neg(x \in B)$ ложно, поэтому внешняя импликация истинна независимо от значения второй части.
- 2
Если $x \notin B$, внешняя импликация будет истинной только тогда, когда внутренняя импликация истинна. Следовательно, для любого $x \in C$, не принадлежащего $A$, должно выполняться $x \in B$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
160ФИПИ A71FA4№ 23Күрделі На числовой прямой даны два отрезка: $P = [20; 67]$ и $Q = [33; 98]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение…
- 1
Если $x \notin P$, внешняя импликация истинна автоматически. Поэтому рассмотрим только $x \in P$.
- 2
При $x \in P$ заключение внутренней импликации $\neg(x \in P)$ ложно. Чтобы импликация была истинной, её условие должно быть ложным:$$(x \in Q) \land \neg(x \in A) = 0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде