Сторона равностороннего треугольника равна $4\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим длину стороны $a = 4\sqrt{3}$:$$r = \dfrac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$$
Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$r = \dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{12\cdot 3}{6} = 6$$
Периметр треугольника равен 71, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{71}{2} = 35{,}5$$
- 2
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r \cdot p$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $10\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается через длину стороны формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим значение радиуса и найдём сторону треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 60$$
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $32\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата совпадает с диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 32\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на $\sqrt{2}$. Найдём длину стороны.$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{64\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 64$$
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 14.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r = 2 \cdot 14 = 28$$
- 2
Вычислим площадь квадрата.$$S = a^2 = 28^2 = 784$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $30^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит, $AB$ — диаметр окружности.
- 2
По теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой:$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что угол $\angle NBA = 69^\circ$. Найдите угол $\angle NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\overset{\frown}{NA} = 2 \cdot 69^\circ = 138^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{AN} + \overset{\frown}{NB} = 180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Окружность касается обоих параллельных оснований трапеции, поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 34 = 68$$
Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 56$$
- 2
Радиус равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{56}{2} = 28$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $82^\circ$, угол $CAD$ равен $28^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные и опираются на одну дугу $AD$, поэтому они равны.$$\angle ACD=\angle ABD=82^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол.$$\angle ADC=180^\circ-\angle ACD-\angle CAD=180^\circ-82^\circ-28^\circ=70^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении