Найдите: $2\sin 165^\circ \cos 165^\circ = \text{?}$
- 1
Применяем формулу двойного угла для синуса: $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$$$2\sin 165^\circ \cos 165^\circ = \sin(2\cdot 165^\circ)$$
- 2
Вычисляем удвоенный угол: $2\cdot 165^\circ = 330^\circ$$$\sin(330^\circ)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Поезд был задержан на станции на 6 минут. После этого, увеличив скорость на 4 км/ч, он наверстывает упущенное время на участке в 36 км. Найдите первоначальную скорость поезда.
- 1
Пусть первоначальная скорость поезда равна $v$ км/ч, а время задержки $6$ мин $=0.1$ ч.
- 2
Запланированное время прохождения участка $36$ км без задержки: $\displaystyle t_0=\frac{36}{v}$ ч.
Ещё 3 шага — в полном решении
Найдите большее из двух чисел, если их среднее арифметическое равно 9, а разность их квадратов равна 72.
- 1
Пусть числа равны $x$ и $y$, где $x \ge y$. Тогда их среднее арифметическое: $\frac{x + y}{2} = 9 \implies x + y = 18$.$$x + y = 18$$
- 2
Разность квадратов: $x^2 - y^2 = 72$. Используем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 72$.$$(x - y)(x + y) = 72$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Цена книги увеличилась на 15% и теперь составляет 1656 тг. Какова первоначальная цена книги?
- 1
Пусть первоначальная цена книги равна $x$ тг. После увеличения на 15% цена становится $x + 0.15x = 1.15x$ тг.$$1.15x = 1656$$
- 2
Решим уравнение относительно $x$: $x = \frac{1656}{1.15}$$$x = \frac{1656}{1.15}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение выражения: $\sin\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{2} ight) + \operatorname{arctg}\sqrt{3} - \pi\right)$
- 1
Вычислим каждое обратное тригонометрическое значение по их основным значениям:
- 2
arcsin(√3/2) = π/3, так как sin(π/3) = √3/2 и π/3 ∈ [-π/2, π/2]
Ещё 4 шага — в полном решении
Вычислите $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})$
Определите степень многочлена: $7x^4y^5 + 3y^6 - 5xy^7 - 2$.
- 1
Степень многочлена — это максимальная сумма показателей степеней переменных в одном из его членов.
- 2
Найдём степень каждого члена: $7x^4y^5$ — степень $4+5=9$; $3y^6$ — степень $0+6=6$; $-5xy^7$ — степень $1+7=8$; $-2$ — степень $0$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Запишите одночлен в стандартном виде: $\frac{4}{5}a^2b^2 \cdot 30b^2 \cdot c^6a^{10}$
- 1
Сократите числовой коэффициент: $\frac{4}{5} \cdot 30 = 24$$$\frac{4}{5} \cdot 30 = 24$$
- 2
Сложите степени одинаковых переменных: $a^2 \cdot a^{10} = a^{12}$, $b^2 \cdot b^2 = b^4$, $c^6$ остаётся без изменений$$a^2 \cdot a^{10} = a^{12},\quad b^2 \cdot b^2 = b^4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Первый тракторист вспахивает определенный участок земли на 24 часа раньше, чем второй тракторист. Если два тракториста будут работать вместе, они вспашут этот участок за 35 часов. Найдите, за какое…
- 1
Пусть время, за которое первый тракторист вспахивает участок один, равно $x$ часов. Тогда второй тракторист тратит $x+24$ часов. Их производительности: $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x+24}$ участка в час. Вместе за 35 часов они вспахивают весь…$$35\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}\right) = 1$$
- 2
Умножим обе части на $x(x+24)$: $35(x+24 + x) = x(x+24)$ → $35(2x+24) = x^2 + 24x$ → $70x + 840 = x^2 + 24x$.$$70x + 840 = x^2 + 24x$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите неравенство: $|x^2 + 6x| \leq 0$
- 1
Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, неравенство |x^2+6x| ≤ 0 выполняется только тогда, когда выражение внутри модуля равно нулю.
- 2
Приравниваем аргумент модуля к нулю.$$x^2+6x=0$$
Ещё 2 шага — в полном решении
1, $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{16}$, ... — бесконечная геометрическая прогрессия. Найдите $S_n$.
- 1
Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{3/4}{1} = \frac{3}{4}$$$q = \frac{3}{4}$$
- 2
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$$S_n = 1 \cdot \frac{1 - (3/4)^n}{1 - 3/4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Данное выражение $-(3,5x-y)+3(-2y+0,5x)$ имеет стандартный вид
- 1
Раскрыть скобки с учётом знаков перед ними: $-(3,5x - y) = -3,5x + y$, $3(-2y + 0,5x) = -6y + 1,5x$
- 2
Сложить полученные выражения: $(-3,5x + y) + (-6y + 1,5x) = (-3,5x + 1,5x) + (y - 6y) = -2x - 5y$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Если $a + b = -3, ab=2$, то значение выражения $a^2b + ab^2$ равно
- 1
Вынесем общий множитель ab из выражения a²b + ab².$$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$$
- 2
Подставляем известные значения: ab = 2 и a + b = -3.$$ab(a + b) = 2 \cdot (-3)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Решите уравнение: $\frac{2}{3}y - \frac{1}{3} = \frac{5}{9}y$
- 1
Перенесём все члены с $y$ в одну часть уравнения. Вычтем $ rac{5}{9}y$ из обеих сторон: $ rac{2}{3}y - rac{5}{9}y - rac{1}{3} = 0$$$\frac{2}{3}y - \frac{5}{9}y - \frac{1}{3} = 0$$
- 2
Приведём $\frac{2}{3}$ к знаменателю 9: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$. Тогда $\frac{6}{9}y - \frac{5}{9}y = \frac{1}{9}y$. Получим: $\frac{1}{9}y - \frac{1}{3} = 0$$$\frac{1}{9}y - \frac{1}{3} = 0$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Factorize the given expression: $\left(\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y}\right) : \frac{xy}{x+y}$
- 1
Сначала упрости выражение в скобках: найди общий знаменатель для дробей $\frac{x}{x-y}$ и $\frac{x}{x+y}$. Общий знаменатель — $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Тогда…$$\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y} = \frac{2xy}{x^2-y^2}$$
- 2
Теперь раздели это на $\frac{xy}{x+y}$, т.е. умножь на обратную дробь: $\frac{2xy}{x^2-y^2} : \frac{xy}{x+y} = \frac{2xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{xy}$. Сократи $xy$ в числителе и знаменателе…$$\frac{2xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{xy} = \frac{2(x+y)}{x^2-y^2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Қалайы мен қорғасыннан тұратын 36 кг қорытпаның 45%-і қалайы. Қорытпада 60% қалайы болу үшін қанша қалайы қосу қажет екенін табыңыз.
- 1
Сначала найдём количество ячменя в исходной смеси: $36 \cdot 0,45 = 16,2$ кг.$$36 \cdot 0,45 = 16,2$$
- 2
Пусть $x$ — количество ячменя, которое нужно добавить. После добавления общая масса станет $36 + x$ кг, а количество ячменя — $16,2 + x$ кг. Нужно, чтобы доля ячменя стала 60%: $\frac{16,2 + x}{36 + x} = 0,6$.$$\frac{16,2 + x}{36 + x} = 0,6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите решение системы неравенств: $\begin{cases} \frac{7x-2}{x-3} \geq 0 \\ \frac{5x+1}{6-x} \leq 1 \end{cases}$
Решите неравенство: $\cos x \ge -\frac{1}{\sqrt{2}}$
- 1
Решаем неравенство $\cos x \ge -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Найдём углы, при которых $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Это $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
- 2
Поскольку косинус убывает на $[0,\pi]$, то $\cos x \ge -\frac{1}{\sqrt{2}}$ выполняется, когда $x$ лежит между двумя последовательными решениями уравнения $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ на единичной окружности.
Ещё 2 шага — в полном решении
Выберите уравнение, которое является квадратным уравнением с одной переменной
- 1
Квадратное уравнение с одной переменной должно иметь форму $ax^2 + bx + c = 0$, где $a\neq0$, и содержать только переменную $x$ в степени не выше 2.
- 2
Вариант A: $5x + 3x^2 = 8$ → переносим 8 влево: $3x^2 + 5x - 8 = 0$. Здесь $a=3\neq0$, степень $x$ — максимум 2, только одна переменная $x$. Это квадратное уравнение.
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите уравнение $\frac{10x^2-9x-1}{x-1} = 0$
- 1
Нулевой дробный expression равен нулю только если числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю.$$10x^2 - 9x - 1 = 0$$
- 2
Решаем квадратное уравнение $10x^2 - 9x - 1 = 0$ через дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 81 + 40 = 121$.$$x = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 10} = \frac{9 \pm 11}{20}$$
Ещё 2 шага — в полном решении