Произведение цифр двузначного числа на 13 меньше самого числа. Если к данному числу прибавить 45, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
Теңдеуді шешіңіз: $4(2x-1)-(x-16) = 2(6x-5)-5(x+2)$
Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} \sin^2 x + \cos y = 1 \\ \cos^2 x + \cos y = 1 \end{cases}$
- 1
Вычитаем первое уравнение из второго: (cos²x + cos y) - (sin²x + cos y) = 1 - 1 → cos²x - sin²x = 0.$$cos^2 x - \sin^2 x = 0$$
- 2
Это упрощается до cos 2x = 0 → 2x = π/2 + πk → x = π/4 + πk/2, k ∈ ℤ.$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2 \\ x^2 y - 2y + 9 = 0 \end{cases}$
- 1
Из первого уравнения: $\log_3 x + \log_3 y = \log_3 (xy) = 2 \Rightarrow xy = 3^2 = 9$
- 2
Выразим $y = \frac{9}{x}$ и подставим во второе уравнение: $x^2 \cdot \frac{9}{x} - 2\cdot \frac{9}{x} + 9 = 0 \Rightarrow 9x - \frac{18}{x} + 9 = 0$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 4x + 4$ и графиком ее производной.
- 1
Найди производную функции: $y' = 2x - 4$.
- 2
Найди точки пересечения функций: реши $x^2 - 4x + 4 = 2x - 4$. Упрости: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Делители 8, сумма 6 → корни $x=2$, $x=4$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Тікбұрыштың ауданы 16. Периметрі ең аз болатын тікбұрыштың қабырғаларының қандай мәндері болады?
- 1
Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Тогда площадь: $xy = 16$, периметр: $P = 2(x + y)$. Для минимизации $P$ при фиксированной площади нужно минимизировать $x + y$.
- 2
Из условия $xy = 16$ получаем $y = \frac{16}{x}$. Тогда $x + y = x + \frac{16}{x}$. Найдём минимум функции $f(x) = x + \frac{16}{x}$ для $x > 0$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Өрнекті ықшамдаңыз: $\sin^3 \alpha \cos 3\alpha + \cos^3 \alpha \sin 3\alpha$
Решите систему неравенств: $\begin{cases} \sqrt{4x-7} < x \\ \sqrt{x+5} + \sqrt{5-x} > 4 \end{cases}$, и укажите количество целых решений системы неравенств
- 1
Определим область допустимых значений для каждого неравенства. Для первого: выражение под корнем должно быть неотрицательным → $4x-7 \ge 0$ → $x \ge \frac{7}{4}$. Также сам корень неотрицателен, поэтому правая часть должна быть…
- 2
Возведём обе части первого неравенства в квадрат (оба члена неотрицательны): $\sqrt{4x-7} < x \implies 4x-7 < x^2 \implies x^2 - 4x + 7 > 0$. Дискриминант: $D = 16 - 28 = -12 < 0$, квадратичный трёхчлен всегда положителен → неравенство…
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} 3^{x-2} < \frac{3}{\sqrt{9}} \\ 6^{x+2} > 2^{x^2} \cdot 3^{x+2} \end{cases}$
Вычислите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} 2x + 5 < 3 \\ x^2 - 5x \le 24 \end{cases}$
Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} 5^{\log_5 (1-x)} < 3 \\ \log_{0,2} (22 + 3^x) > -2 \end{cases}$
Основания равнобедренной трапеции 20 см и 12 см, а острый угол равен 45°. Найдите площадь трапеции.
- 1
Основания трапеции: 20 см и 12 см. Разность оснований: 20 - 12 = 8 см. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну по обе стороны, поэтому каждая горизонтальная проекция боковой стороны равна 8/2 = 4 см.
- 2
Острый угол при основании равен 45°. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, проекцией боковой стороны (4 см) и самой боковой стороной, угол при основании равен 45°, значит, высота h равна этой проекции: h = 4 см.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңыз. Үшбұрыштың қабырғалары 8, 10 және 16-ға тең.
- 1
Найдите полупериметр треугольника: $s = \frac{8+10+16}{2} = 17$
- 2
Площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{17\cdot(17-8)\cdot(17-10)\cdot(17-16)} = \sqrt{17\cdot9\cdot7\cdot1} = 3\sqrt{119}$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Өрнекті ықшамда: $\frac{2-\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha}{3\sin^2 \alpha + 3\cos^2 \alpha}$
- 1
Используем фундаментальное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для упрощения числителя и знаменателя.
- 2
Числитель: $2 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 2 - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 2 - 1 = 1$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В основании треугольной пирамиды лежит треугольник АВС, АВ=ВС=10 см, АС=12 см. Высота пирамиды равна 5 см. Объём пирамиды равен
- 1
Іздеу площадь основания — треугольника ABC с равными сторонами AB=BC=10 см и основанием AC=12 см.$$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h_{\triangle}$$
- 2
Высота треугольника ABC к стороне AC найдётся по теореме Пифагора: $h_{\triangle}=\sqrt{10^2-(12/2)^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ см.$$h_{\triangle}=8\ \text{см}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Нүктелер берілген: A(5;2), B(3;-3), C(2; x) және D(6;1). Егер $\overline{BA}$ және $\overline{CD}$ түзу бойында жатса, x мәнін табыңыз.
- 1
Вектор BA равен A - B = (5 - 3, 2 - (-3)) = (2, 5).
- 2
Вектор CD равен D - C = (6 - 2, 1 - x) = (4, 1 - x).
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно $5\sqrt{3}$. Радиус шара 10, тогда радиус сечения шара равен
- 1
Вертикальное сечение шара образует прямоугольный треугольник с гипотенузой — радиусом шара, одним катетом — расстоянием от центра шара до плоскости сечения, другим катетом — радиусом сечения.$$R^2 = d^2 + r^2$$
- 2
Подставляем известные значения: радиус шара $R = 10$, расстояние от центра до плоскости $d = 5\sqrt{3}$.$$10^2 = (5\sqrt{3})^2 + r^2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Арифметическая прогрессия 6; 8; 10... и геометрическая прогрессия 1; 2; 4;... имеют по 61 члену. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?
- 1
Запишем общий член арифметической прогрессии: $a_n = 6 + (n-1)\cdot2 = 2n + 4$ для $n = 1$ до $61$
- 2
Запишем общий член геометрической прогрессии: $b_m = 2^{m-1}$ для $m = 1$ до $61$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
16; 8; 4; 2; ... шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табыңыз.
- 1
Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
- 2
Проверяем сходимость: $|q| = \frac{1}{2} < 1$ — ряд сходится
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Өрнекті ықшамдаңыз: $\frac{4 \cos 2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha-\text{tg}^2\alpha} + \cos^2 2\alpha$