Решения заданий ФИПИ ЕНТ по математике: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» — с ответами

1, 3/4, 9/16, ... — бесконечная геометрическая прогрессия. Найдите Sₙ.

1, $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{16}$, ... — бесконечная геометрическая прогрессия. Найдите $S_n$.

1. 1
   Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{3/4}{1} = \frac{3}{4}$$$q = \frac{3}{4}$$
2. 2
   Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$$S_n = 1 \cdot \frac{1 - (3/4)^n}{1 - 3/4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Запишите формулу общего члена последовательности 1; 7; 31; 127; 511;......

Запишите формулу общего члена последовательности $1; 7; 31; 127; 511;.....$.

Геометрическая прогрессия {bₙ} - возрастающая, b₂ = 4, b₄ = 36. Найдите b₅.

Геометрическая прогрессия {$b_n$} - возрастающая, $b_2 = 4$, $b_4 = 36$. Найдите $b_5$.

1. 1
   Определите знаменатель прогрессии: $b_4 = b_2 \cdot q^{2}$, поэтому $36 = 4 \cdot q^{2}$, откуда $q^{2} = 9$, так как прогрессия возрастающая, $q = 3$.$$b_4 = b_2 \cdot q^2 \implies 36 = 4q^2 \implies q^2 = 9 \implies q = 3$$
2. 2
   Найдите первый член: $b_2 = b_1 \cdot q$, значит $4 = b_1 \cdot 3$, откуда $b_1 = \frac{4}{3}$.$$b_2 = b_1 \cdot q \implies 4 = 3b_1 \implies b_1 = \frac{4}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

x²-7x+a=0 теңдеуінің түбірлері x₁ мен x₂, ал x²-19x+b=0 теңдеуінің түбірлері $

$x^2-7x+a=0$ теңдеуінің түбірлері $x_1$ мен $x_2$, ал $x^2-19x+b=0$ теңдеуінің түбірлері $x_3$ пен $x_4$ екендігі белгілі болса және $x_1; x_2; x_3; x_4$ сандары осы көрсетілген ретпен арифметикалық…

В возрастающей арифметической прогрессии сумма первого, третьего и пятого членов равна -12

В возрастающей арифметической прогрессии сумма первого, третьего и пятого членов равна -12, их произведение равно 80. Значение пятого члена

1. 1
   Пусть первый член прогрессии — $a$, разность — $d>0$ (так как прогрессия возрастающая). Тогда третий член: $a+2d$, пятый: $a+4d$.$$\text{Сумма: } a + (a+2d) + (a+4d) = 3a+6d = -12$$
2. 2
   Упрощаем уравнение суммы: $3a+6d=-12 \Rightarrow a+2d=-4$ — это и есть третий член прогрессии.$$a+2d=-4$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Арифметикалық прогрессияның екінші, үшінші және төртінші мүшелерінің қосындысы 12, ал үшін

Арифметикалық прогрессияның екінші, үшінші және төртінші мүшелерінің қосындысы 12, ал үшінші, төртінші және бесінші мүшелерінің қосындысы 21-ге тең. Прогрессияның бірінші мүшесін және айырмасын…

1. 1
   Пусть арифметическая прогрессия задаётся формулой $a_n = a_1 + (n-1)d$. Тогда: $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$, $a_4 = a_1 + 3d$, $a_5 = a_1 + 4d$.
2. 2
   Согласно условию: $a_2 + a_3 + a_4 = 12$ и $a_3 + a_4 + a_5 = 21$. Подставляем выражения: $(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d) = 3a_1 + 6d = 12$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Арифметикалық прогрессияның a₃= 7,5 және a₇=14,3 прогрессияның бірінші мүшесін және

Арифметикалық прогрессияның $a_3= 7,5$ және $a_7=14,3$ прогрессияның бірінші мүшесін және айырмасын табыңыз.

1. 1
   Для арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Составим систему уравнений для $a_3$ и $a_7$: $a_1 + 2d = 7,5$, $a_1 + 6d = 14,3$.
2. 2
   Вычтем первое уравнение из второго: $(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 14,3 - 7,5 \implies 4d = 6,8 \implies d = 1,7$.

Ещё 2 шага — в полном решении

В арифметической прогрессии a₁ = -2, d = 16, найдите номер члена арифметической прогр

В арифметической прогрессии $a_1 = -2$, $d = 16$, найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 174.

1. 1
   Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
2. 2
   Подставляем известные значения: $a_n = 174$, $a_1 = -2$, $d = 16$. Получаем: $174 = -2 + (n-1) \cdot 16$.$$174 = -2 + (n-1) \cdot 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Дана арифметическая прогрессия: aₙ=3n+5. Если a₁-3, a₃-4, a₅ являются последовательными членами геометрической прогрессии, то найдите знаменатель (q) геометрической прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия: $a_n=3n+5$. Если $a_1-3, a_3-4, a_5$ являются последовательными членами геометрической прогрессии, то найдите знаменатель (q) геометрической прогрессии.

1. 1
   Вычислим первые три члена арифметической прогрессии по формуле $a_n=3n+5$
2. 2
   $a_1=3\cdot1+5=8$, $a_3=3\cdot3+5=14$, $a_5=3\cdot5+5=20$

Ещё 2 шага — в полном решении

Арифметическая прогрессия 6; 8; 10... и геометрическая прогрессия 1; 2; 4;... имеют по 61

Арифметическая прогрессия 6; 8; 10... и геометрическая прогрессия 1; 2; 4;... имеют по 61 члену. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

1. 1
   Запишем общий член арифметической прогрессии: $a_n = 6 + (n-1)\cdot2 = 2n + 4$ для $n = 1$ до $61$
2. 2
   Запишем общий член геометрической прогрессии: $b_m = 2^{m-1}$ для $m = 1$ до $61$

Ещё 3 шага — в полном решении

16; 8; 4; 2; ... найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии.

16; 8; 4; 2; ... найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии.

1. 1
   Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
2. 2
   Проверяем сходимость: $|q| = \frac{1}{2} < 1$ — ряд сходится

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите цвета 30ᵗʰ шара, если Ерлан расположил 7 цветов шаров в таком порядке

Найдите цвета $30^{th}$ шара, если Ерлан расположил 7 цветов шаров в таком порядке: красный, желтый, зеленый, синий, фиолетовый, оранжевый и розовый.

1. 1
   Определяем длину периода: у Ерлана 7 цветов, повторяющихся циклически.
2. 2
   Нужно найти остаток от деления 30 на 7, чтобы определить позицию в цикле.

Ещё 3 шага — в полном решении

Дана рекуррентная формула последовательности: a₁=8, a₂=13 и aₙ₊₁=2aₙ-aₙ₋₁. Какая

Дана рекуррентная формула последовательности: $a_1=8$, $a_2=13$ и $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$. Какая из следующих является $3^{rd}$, $4^{th}$ и $5^{th}$ членами последовательности?

1. 1
   Рекуррентная формула $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$ описывает линейную рекурренцию с постоянными коэффициентами. Её можно переписать как $a_{n+1}-a_n = a_n - a_{n-1}$, что означает, что разность соседних членов постоянна. То есть…
2. 2
   Первый член $a_1 = 8$, второй $a_2 = 13$. Тогда разность $d = a_2 - a_1 = 13 - 8 = 5$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Тело, падая с некоторой высоты, проходит в первую секунду 4,5 м, а каждую следующую — на 5

Тело, падая с некоторой высоты, проходит в первую секунду 4,5 м, а каждую следующую — на 5,8 м больше. С какой высоты упало тело, если падение продолжалось 11 с?

1. 1
   Тело движется с постоянным ускорением, поэтому его перемещение за каждую секунду образует арифметическую прогрессию. Первый член S₁ = 4,5 м, разность d = 5,8 м, число членов n = 11 с.
2. 2
   Сумма первых n членов арифметической прогрессии: S_n = n/2 × [2S₁ + (n-1)d]. Подставляем значения: S₁₁ = 11/2 × [2×4,5 + 10×5,8].

Ещё 2 шага — в полном решении

Значение суммы первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии с положительными

Значение суммы первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии с положительными членами равно 15, а значение суммы их квадратов равно 93. Найдите пятый член этой прогрессии.

1. 1
   Пусть первый член прогрессии равен $a$, разность — $d>0$. Тогда первые три члена: $a$, $a+d$, $a+2d$.
2. 2
   Сумма первых трёх членов: $a + (a+d) + (a+2d) = 3a + 3d = 15$ → $a + d = 5$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Дана геометрическая прогрессия (bₙ), где b₃ = 10 и b₆ = 80. Установите соответств

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где $b_3 = 10$ и $b_6 = 80$. Установите соответствие между выражением и его числовым значением: А) $S_5$ В) $19 \cdot b_1$

(aₙ) является арифметической прогрессией, сумма первых n членов прогрессии задана

$(a_n)$ является арифметической прогрессией, сумма первых $n$ членов прогрессии задана формулой $S_n = n^2 - 2n$. Сопоставьте: A) найти 12-й член прогрессии B) найти разность арифметической прогрессии

1. 1
   Найти первый член $a_1$ как $S_1$:$a_1 = S_1 = 1^2 - 2\cdot1 = -1$$$a_1 = -1$$
2. 2
   Найти второй член $a_2 = S_2 - S_1$:$a_2 = (2^2 - 2\cdot2) - (-1) = 0 + 1 = 1$$$a_2 = 1$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Сумма трёх данных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, у которой разность больше

Сумма трёх данных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, у которой разность больше нуля, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 4 и 19, то полученные числа составляют…

Выражения x - 1, x + 2 и 3x образуют три последовательных члена геометрической прогрессии

Выражения $x - 1, x + 2$ и $3x$ образуют три последовательных члена геометрической прогрессии в указанном порядке. Найдите все значения $x$

1. 1
   Для геометрической прогрессии отношение между последовательными членами постоянно: $\frac{x+2}{x-1} = \frac{3x}{x+2}$$$\frac{x+2}{x-1} = \frac{3x}{x+2}$$
2. 2
   Перемножаем крест-накрест: $(x+2)^2 = 3x(x-1)$$$(x+2)^2 = 3x(x-1)$$

Ещё 3 шага — в полном решении