Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Теория вероятностей» — с ответами

Вероятность вопроса по термодинамике

В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 17 из них встречается вопрос по теме «Термодинамика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Число благоприятных исходов равно 17, а общее число исходов — 50.$$m = 17,\quad n = 50$$
2. 2
   Вычислим вероятность события:$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{17}{50} = 0{,}34$$

Вероятность исправного насоса

В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Число насосов, которые не подтекают, равно разности общего числа насосов и числа подтекающих насосов.$$140 - 7 = 133$$
2. 2
   Вероятность выбрать насос, который не подтекает, равна отношению числа исправных насосов к общему числу насосов.$$P = \dfrac{133}{140} = 0{,}95$$

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,15 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность того, что оба автомата неисправны, равна произведению вероятностей.$$P = 0{,}15 \cdot 0{,}15$$
2. 2
   Вычислим произведение.$$P = 0{,}0225$$

Вероятность хорошей ручки

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет…

1. 1
   Событие «ручка пишет хорошо» противоположно событию «ручка пишет плохо или вовсе не пишет».$$P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо})$$
2. 2
   Вычислим искомую вероятность:$$P(\text{хорошо}) = 1 - 0{,}21 = 0{,}79$$

Вероятность доклада из России

На семинар приехали 3 учёных из Норвегии, 4 из России и 3 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым…

1. 1
   Определим общее число учёных и докладов:$$3+4+3=10$$
2. 2
   Каждый из 10 докладов с равной вероятностью может оказаться восьмым. Благоприятными являются 4 доклада учёных из России.$$P=\dfrac{4}{10}=0{,}4$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно взятую чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$10 - 7 = 3$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$

Вероятность неповреждения стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,88. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   События «стекло разобьётся» и «стекло не разобьётся» являются противоположными.$$P(\text{не разобьётся}) = 1 - P(\text{разобьётся})$$
2. 2
   Находим искомую вероятность:$$1 - 0{,}88 = 0{,}12$$

Вероятность одной из тем

На экзамене по геометрии школьник должен будет ответить на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что…

1. 1
   События являются несовместными, поэтому вероятность того, что произойдёт одно из них, равна сумме их вероятностей.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Подставим значения из условия:$$P = 0{,}2 + 0{,}25 = 0{,}45$$

Вероятность выбрать гуся

На птицеферме есть только куры и гуси, причём кур в 7 раз больше, чем гусей. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме птица окажется гусем.

1. 1
   Пусть число гусей равно $x$. Тогда число кур равно $7x$, а общее число птиц — $8x$.$$N_{\text{всего}} = x + 7x = 8x$$
2. 2
   Вероятность выбрать гуся равна отношению числа гусей к общему числу птиц.$$P = \dfrac{x}{8x} = \dfrac{1}{8} = 0.125$$

Вероятность жёлтой машины

В фирме такси в наличии 20 легковых автомобилей: 11 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов…

1. 1
   Количество жёлтых автомобилей с чёрными надписями равно разности общего числа автомобилей и числа чёрных автомобилей:$$20 - 11 = 9$$
2. 2
   Вероятность случайно выбрать такой автомобиль равна отношению числа подходящих автомобилей к общему числу автомобилей:$$P = \dfrac{9}{20} = 0{,}45$$

Вероятность вопроса о Канте

В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Кант». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете студенту достанется вопрос по…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 50, а число билетов с вопросом по теме «Кант» равно 6.$$n = 50,\quad m = 6$$
2. 2
   Находим вероятность как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{6}{50} = 0{,}12$$

Вероятность выбора такси

В фирме такси в наличии 40 легковых автомобилей: 12 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов…

1. 1
   Найдём количество автомобилей жёлтого цвета с чёрными надписями:$$40 - 12 = 28$$
2. 2
   Вероятность равна отношению числа подходящих автомобилей к общему числу автомобилей:$$P = \dfrac{28}{40} = 0{,}7$$

Вероятность исправного насоса

В среднем из 200 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Число насосов, которые не подтекают, равно разности общего числа насосов и числа подтекающих насосов.$$200 - 14 = 186$$
2. 2
   Вероятность выбрать насос, который не подтекает, равна отношению числа исправных насосов к общему числу насосов.$$P = \dfrac{186}{200} = 0{,}93$$

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Коли было четыре конфеты — «Грильяж», «Ласточка», «Взлётная» и «Василёк», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Коля случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность…

1. 1
   Всего в кармане было 4 конфеты, поэтому возможны 4 равновероятных исхода.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятным является только один исход — выпала конфета «Ласточка».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность одной из тем

На экзамене по геометрии школьник должен ответить на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того…

1. 1
   События являются несовместными, поскольку вопросов, относящихся одновременно к обеим темам, нет.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Складываем вероятности получения вопросов по двум темам:$$0{,}35 + 0{,}25 = 0{,}6$$

Вероятность выбора игрока

Вася, Петя, Олег, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Петя.

1. 1
   В жребии участвуют пять игроков, и каждый имеет одинаковую вероятность начать игру.$$n = 5$$
2. 2
   Благоприятным является один исход — первым начинает Петя.$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора автомобиля

В фирме такси в наличии 28 легковых автомобилей: 21 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов…

1. 1
   Найдём число автомобилей жёлтого цвета с чёрными надписями:$$28 - 21 = 7$$
2. 2
   Вероятность равна отношению числа подходящих автомобилей к общему числу автомобилей:$$P = \dfrac{7}{28} = 0{,}25$$

Вероятность неповреждения стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,86. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Событие, при котором стекло не разобьётся, является противоположным событию, при котором стекло разобьётся.$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}86 = 0{,}14$$

Вероятность жёлтой машины

В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов…

1. 1
   Найдём количество автомобилей жёлтого цвета с чёрными надписями:$$12 - 3 = 9$$
2. 2
   Вероятность равна отношению числа подходящих автомобилей к общему числу автомобилей:$$P = \dfrac{9}{12} = 0{,}75$$

Вероятность белого шара

В ящике находятся чёрные и белые шары, причём чёрных в 4 раза больше, чем белых. Из ящика случайным образом достали один шар. Найдите вероятность того, что он будет белым.

1. 1
   Пусть белых шаров $x$. Тогда чёрных шаров $4x$.
2. 2
   Общее количество шаров равно $x + 4x = 5x$.

Ещё 1 шаг — в полном решении