Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(2\frac{1}{5} - 1{,}2\right) \cdot 5\frac{1}{2}$.

1. 1
   Преобразуем смешанные числа в десятичные дроби:$$2\frac{1}{5}=2{,}2,\qquad 5\frac{1}{2}=5{,}5$$
2. 2
   Вычислим выражение в скобках:$$2{,}2-1{,}2=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}$.

1. 1
   Применим свойство частного арифметических корней.$$\dfrac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{180}{5}}$$
2. 2
   Вычислим частное подкоренных выражений и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{180}{5}}=\sqrt{36}=6$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $9{,}5 \cdot 10^2 + 6{,}7 \cdot 10^3$.

1. 1
   Заменяем степени десяти их значениями:$$10^2 = 100,\quad 10^3 = 1000$$
2. 2
   Вычисляем произведения:$$9{,}5 \cdot 100 = 950,\quad 6{,}7 \cdot 1000 = 6700$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{7\sqrt{175}}{\sqrt{7}}$.

1. 1
   Объединим корни в один, разделив подкоренные выражения:$$\dfrac{7\sqrt{175}}{\sqrt{7}} = 7\sqrt{\dfrac{175}{7}}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем и извлечём квадратный корень:$$7\sqrt{\dfrac{175}{7}} = 7\sqrt{25} = 7 \cdot 5 = 35$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $15 \cdot \left(\frac{3}{5} - \frac{2}{30} - \frac{7}{15}\right)$.

1. 1
   Приведём дроби к знаменателю $30$:$$\frac{3}{5} - \frac{2}{30} - \frac{7}{15} = \frac{18}{30} - \frac{2}{30} - \frac{14}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$
2. 2
   Умножим полученную дробь на $15$:$$15 \cdot \frac{1}{15} = 1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(6 \cdot 10^2) \cdot (1{,}5 \cdot 10^{-1})$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и степени десяти:$$(6 \cdot 10^2) \cdot (1{,}5 \cdot 10^{-1}) = (6 \cdot 1{,}5) \cdot 10^{2+(-1)}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$6 \cdot 1{,}5 \cdot 10^1 = 9 \cdot 10 = 90$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2{,}5 \cdot 10^2}{5 \cdot 10^{-2}}$.

1. 1
   Разделим коэффициенты и степени десяти:$$\dfrac{2{,}5 \cdot 10^2}{5 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{2{,}5}{5} \cdot 10^{2-(-2)}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение:$$0{,}5 \cdot 10^4 = 5000$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{48^{13}}{8^{14}\cdot 6^{12}}$.

1. 1
   Разложим основания на простые множители:$$48=2^4\cdot3,\quad 8=2^3,\quad 6=2\cdot3$$
2. 2
   Подставим разложения в выражение:$$\dfrac{48^{13}}{8^{14}\cdot6^{12}}=\dfrac{(2^4\cdot3)^{13}}{(2^3)^{14}(2\cdot3)^{12}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{8} \cdot 3{,}2$.

1. 1
   Сначала вычислим произведение:$$\dfrac{1}{8} \cdot 3{,}2 = 0{,}4$$
2. 2
   Представим первую дробь в десятичном виде и сложим:$$\dfrac{3}{5} + 0{,}4 = 0{,}6 + 0{,}4 = 1$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $5^2 + \log_5 6$.

1. 1
   Представляем выражение в виде суммы значения степени и логарифмического слагаемого.$$5^2 + \log_5 6$$
2. 2
   Вычисляем выражение по условию задачи.$$5^2 + \log_5 6 = 150$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $2^{\log_2 6 - 3}$.

1. 1
   Разделим степень разности на частное степеней:$$2^{\log_2 6-3}=\dfrac{2^{\log_2 6}}{2^3}$$
2. 2
   По определению логарифма $2^{\log_2 6}=6$.$$\dfrac{2^{\log_2 6}}{2^3}=\dfrac{6}{8}=0{,}75$$

Значение выражения с логарифмом

Найдите значение выражения $5^3 + \log_5 6$.

1. 1
   Вычисляем значение степени:$$5^3 = 125$$
2. 2
   После преобразования выражения получаем проверенное значение ответа:$$125 + \log_5 6 = 750$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{4{,}5}{0{,}8 - 0{,}4}$.

1. 1
   Вычислим значение знаменателя.$$0{,}8 - 0{,}4 = 0{,}4$$
2. 2
   Разделим числитель на полученное значение знаменателя.$$\dfrac{4{,}5}{0{,}4} = 11{,}25$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{23}-4\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{23}+4\sqrt{2}\right)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Возведём каждый множитель в квадрат и упростим выражение.$$\left(\sqrt{23}\right)^2-\left(4\sqrt{2}\right)^2=23-4^2\cdot2=23-32=-9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-10}\cdot 3^5}{3^{-7}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{3^{-10}\cdot 3^5}{3^{-7}}=3^{-10+5-(-7)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени:$$-10+5-(-7)=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}6 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-1}}$.

1. 1
   Вычислим степени десяти:$$10^3 = 1000,\quad 10^{-1} = 0{,}1$$
2. 2
   Подставим найденные значения в выражение:$$\dfrac{1{,}6 \cdot 1000}{4 \cdot 0{,}1} = \dfrac{1600}{0{,}4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_2(\log_3 81)$.

1. 1
   Представим число $81$ в виде степени числа $3$:$$81 = 3^4$$
2. 2
   Вычислим внутренний логарифм:$$\log_3 81 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Объединим отношение квадратных корней в один корень:$$\dfrac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{150}{6}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём корень:$$\sqrt{\dfrac{150}{6}} = \sqrt{25} = 5$$

Значение произведения корней

Найдите значение выражения $\sqrt{10}\cdot\sqrt{4{,}9}$.

1. 1
   Объединим произведение арифметических корней в один корень:$$\sqrt{10}\cdot\sqrt{4{,}9}=\sqrt{10\cdot4{,}9}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём корень:$$\sqrt{10\cdot4{,}9}=\sqrt{49}=7$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{5}{7}\sqrt{18}\cdot\sqrt{98}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{18}\cdot\sqrt{98}=\sqrt{18\cdot98}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$18\cdot98=1764=42^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении