Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$ значения $a = 10$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$.$$R = \dfrac{10}{2 \cdot \frac{1}{3}}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$R = \dfrac{10}{\frac{2}{3}} = 10 \cdot \dfrac{3}{2} = 15$$

Нахождение массы тела

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи её поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в…

1. 1
   Выразим массу тела из формулы $E = mgh$.$$m = \dfrac{E}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m = \dfrac{196}{9{,}8 \cdot 5} = \dfrac{196}{49} = 4$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади треугольника.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 14 \cdot \dfrac{1}{5}$$
2. 2
   Сократим множители и выполним вычисления.$$S = \dfrac{15 \cdot 14}{10} = 21$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия $W$ (в Дж) заряженного конденсатора вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим данные в формулу энергии заряженного конденсатора.$$W = \dfrac{2 \cdot 10^{-4} \cdot 17^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = 10^{-4} \cdot 289 = 0{,}0289$$

Расчёт мощности тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 14$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $I = 4$ и $R = 14$:$$P = 4^2 \cdot 14$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$P = 16 \cdot 14 = 224$$

Расчёт работы тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = I^2Rt$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$…

1. 1
   Используем формулу работы постоянного тока и подставляем известные значения.$$A = I^2Rt = 5^2 \cdot 10 \cdot 3$$
2. 2
   Вычисляем значение выражения.$$A = 25 \cdot 10 \cdot 3 = 750$$

Потенциальная энергия тела

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи её поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в…

1. 1
   Выразим массу из формулы $E = mgh$:$$m = \dfrac{E}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$m = \dfrac{98}{9{,}8 \cdot 2} = \dfrac{98}{19{,}6} = 5$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{2}$, $5$ и $9$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{2})^2+5^2+9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения:$$q = \sqrt{\dfrac{2+25+81}{3}} = \sqrt{36}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — длины двух сторон треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади треугольника.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 \cdot \dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Сократим множители и вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 15 = 30$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 100$ в формулу перевода температуры.$$t_F = 1{,}8 \cdot 100 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$t_F = 180 + 32 = 212$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 25$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot 25 + 32$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_F = 45 + 32 = 77$$

Нахождение сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$R = \dfrac{6{,}75}{1{,}5^2} = \dfrac{6{,}75}{2{,}25} = 3$$

Среднее геометрическое трёх чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 27, 32.

1. 1
   Подставим заданные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{2 \cdot 27 \cdot 32}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня.$$2 \cdot 27 \cdot 32 = 1728$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу энергии заряженного конденсатора.$$W = \dfrac{0{,}019^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$0{,}019^2 = 0{,}000361, \quad 2 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 0{,}001$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = I^2Rt$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$…

1. 1
   Подставим значения силы тока, сопротивления и времени в формулу.$$A = 7^2 \cdot 5 \cdot 4$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = 49 \cdot 5 \cdot 4 = 980$$

Нахождение массы по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в м/с$^2$), с которым движется тело. Найдите…

1. 1
   Выразим массу из формулы второго закона Ньютона:$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения:$$m = \dfrac{195}{39} = 5$$

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\text{м}/\text{с}^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\text{с}^{-1}$), а $R$…

1. 1
   Подставим в формулу $a = \omega^2 R$ значения $\omega = 20\ \text{с}^{-1}$ и $R = 2{,}5\ \text{м}$.$$a = 20^2 \cdot 2{,}5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$a = 400 \cdot 2{,}5 = 1000$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 25, 27.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{5 \cdot 25 \cdot 27}$$
2. 2
   Представим множители как степени числа 5 и числа 3:$$5 \cdot 25 \cdot 27 = 5 \cdot 5^2 \cdot 3^3 = 5^3 \cdot 3^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры по шкалам

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 10$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot 10 + 32$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение:$$t_F = 18 + 32 = 50$$

Стоимость колодца по формуле

В фирме «Чистая вода» стоимость в рублях колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу $n = 13$:$$C = 6000 + 4100 \cdot 13$$
2. 2
   Вычислим стоимость колодца:$$C = 6000 + 53300 = 59300$$