Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади треугольника.$$S = \dfrac{7 \cdot 15 \cdot 20}{4 \cdot \frac{25}{2}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$S = \dfrac{2100}{50} = 42$$

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим в формулу $v = \sqrt{2gh}$ значения $g = 9{,}8$ и $h = 62{,}5$.$$v = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 62{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$v = \sqrt{1225} = 35$$

Расчёт сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$R = \dfrac{211{,}25}{6{,}5^2} = \dfrac{211{,}25}{42{,}25} = 5$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим значения заряда и ёмкости в формулу.$$W = \dfrac{(0{,}07)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$(0{,}07)^2 = 0{,}0049, \quad 2 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 10^{-3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим данные в формулу энергии заряженного конденсатора.$$W = \dfrac{(0{,}009)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = \dfrac{0{,}000081}{0{,}001} = 0{,}081$$

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если…

1. 1
   Подставим в формулу $P = I^2R$ значения $I = 7$ и $R = 5$.$$P = 7^2 \cdot 5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 49 \cdot 5 = 245$$

Площадь четырёхугольника по диагоналям

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения диагоналей и синуса угла в формулу площади.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \dfrac{5}{6}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = 5$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$ значения $a = 6$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{7}$.$$R = \dfrac{6}{2 \cdot \frac{1}{7}}$$
2. 2
   Выполним деление на дробь.$$R = 6 \cdot \dfrac{7}{2} = 21$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$ значения $a = 8$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{5}$.$$R = \dfrac{8}{2 \cdot \frac{1}{5}}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$R = \dfrac{8}{\frac{2}{5}} = 8 \cdot \dfrac{5}{2} = 20$$

Перевод температуры по шкалам

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 77$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \dfrac{5}{9}(77 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 45 = 25$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу значения $q = 0{,}1$ Кл и $C = 5 \cdot 10^{-4}$ Ф.$$W = \dfrac{(0{,}1)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$W = \dfrac{0{,}01}{10^{-3}} = 10$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $\sqrt{7}$ и $17$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{2^2+(\sqrt{7})^2+17^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и упростим выражение:$$q=\sqrt{\dfrac{4+7+289}{3}}=\sqrt{100}=10$$

Нахождение массы по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в м/с^2), с которым движется тело. Найдите…

1. 1
   Выразим массу из формулы $F = ma$.$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения.$$m = \dfrac{153}{17} = 9$$

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 5$, $b = 3$ и…

1. 1
   Подставим значения оснований и высоты в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{5+3}{2} \cdot 6$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$S = \dfrac{8}{2} \cdot 6 = 4 \cdot 6 = 24$$

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\mathrm{м}/\mathrm{с}^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\mathrm{с}^{-1}$), а $R$…

1. 1
   Подставим в формулу $a = \omega^2 R$ значения $\omega = 6$ и $R = 5$.$$a = 6^2 \cdot 5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$a = 36 \cdot 5 = 180$$

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим в формулу значения ускорения свободного падения и высоты:$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 22{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень:$$v = \sqrt{441} = 21$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a = 60$…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r = \dfrac{60+91-109}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение числителя и разделим результат на 2:$$r = \dfrac{42}{2} = 21$$

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 2$…

1. 1
   Подставим в формулу $P = I^2R$ значения $I = 8{,}5$ и $R = 2$.$$P = 8{,}5^2 \cdot 2$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 72{,}25 \cdot 2 = 144{,}5$$

Нахождение сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если $P = 180$…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения мощности и силы тока.$$R = \dfrac{180}{6^2} = \dfrac{180}{36} = 5$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим значения ёмкости и разности потенциалов в формулу:$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 8^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 64}{2} = 32 \cdot 10^{-4} = 0{,}0032$$