Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 4, 16, 27.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{4 \cdot 16 \cdot 27}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня:$$4 \cdot 16 \cdot 27 = 1728$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c=\dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{6+9}\sqrt{6\cdot9\left((6+9)^2-(5\sqrt{3})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$6\cdot9\left(15^2-75\right)=54\cdot150=8100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Кинетическая энергия тела

Кинетическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите…

1. 1
   Подставим в формулу $E = \dfrac{mv^2}{2}$ значения $m = 13$ и $v = 4$.$$E = \dfrac{13 \cdot 4^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{13 \cdot 16}{2} = 104$$

Растяжение пружины

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Выразим абсолютное растяжение пружины из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{24}{3} = 8$$

Удлинение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают пружину, $x$ — абсолютное удлинение пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь…

1. 1
   Из закона Гука выразим абсолютное удлинение пружины:$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и коэффициента упругости:$$x = \dfrac{90}{5} = 18$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим $b$ из формулы $S = \dfrac{abc}{4R}$:$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{65}{8} \cdot 84}{13 \cdot 15}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 9, 12, 16.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 16}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня.$$9 \cdot 12 \cdot 16 = 1728$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади:$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 6}{3 \cdot 8} = \dfrac{12}{24} = 0{,}5$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 13…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{13+30+37}{2} = 40$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{40(40-13)(40-30)(40-37)} = \sqrt{40 \cdot 27 \cdot 10 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу радиуса:$$r = \dfrac{44+117-125}{2}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$r = \dfrac{36}{2} = 18$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения сторон и радиуса в формулу площади:$$S = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 17}{4 \cdot \frac{85}{8}}$$
2. 2
   Упростим числитель и знаменатель:$$S = \dfrac{1530}{\frac{340}{8}} = \dfrac{1530}{42{,}5} = 36$$

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим значения ускорения свободного падения и высоты в формулу скорости:$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}6}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем и извлечём квадратный корень:$$v = \sqrt{31{,}36} = 5{,}6$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим данные в формулу радиуса:$$r = \dfrac{57+176-185}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение числителя и разделим на 2:$$r = \dfrac{48}{2} = 24$$

Перевод температуры по формуле

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим значение температуры по шкале Цельсия в формулу перевода.$$t_F = 1{,}8 \cdot (-44) + 32$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$t_F = -79{,}2 + 32 = -47{,}2$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$R = \dfrac{14}{2 \cdot \frac{1}{7}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$R = \dfrac{14}{\frac{2}{7}} = 14 \cdot \frac{7}{2} = 49$$

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\mathrm{м/с^2}$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\mathrm{с^{-1}}$), а $R$ — радиус…

1. 1
   Подставим в формулу $a = \omega^2 R$ значения $\omega = 5$ и $R = 7$.$$a = 5^2 \cdot 7$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$a = 25 \cdot 7 = 175$$

Перевод температуры по шкалам

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 99$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot 99 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$t_F = 178{,}2 + 32 = 210{,}2$$

Нахождение массы тела

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в $\text{м/с}^2$), с которым движется тело…

1. 1
   Выразим массу из формулы второго закона Ньютона:$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$m = \dfrac{188}{47} = 4\ \text{кг}$$

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения $U = 6$, $t = 15$ и $R = 9$ в формулу.$$A = \dfrac{6^2 \cdot 15}{9}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = \dfrac{36 \cdot 15}{9} = 36 \cdot \dfrac{5}{3} = 60$$

Перевод температуры Фаренгейта

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 158$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \dfrac{5}{9}(158 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 126 = 70$$