Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по информатике: «Алгоритмы и исполнители» — с ответами

Точки внутри области Черепахи

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   После команды «Направо 90» направление движения становится восточным. В каждой итерации сначала выполняется поворот на 45 градусов и движение на 11 единиц, затем ещё один поворот на 45 градусов. Поэтому направление каждого следующего…$$45^\circ+45^\circ=90^\circ$$
2. 2
   Первые четыре отрезка образуют замкнутый ромб. Три оставшихся отрезка повторяют его стороны и не изменяют ограниченную область. Длина проекции каждого отрезка на оси координат равна $a=\dfrac{11}{\sqrt{2}}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Максимальное число повторений

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду «сместиться на $(a, b)$», где $a$, $b$ — целые числа. Эта команда…

1. 1
   Суммарное перемещение по оси $x$ должно быть равно нулю:$$-19+n(a-3)-30=0$$
2. 2
   Отсюда получаем:$$n(a-3)=49$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Пересечение фигур Черепахи

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   Первые четыре команды цикла образуют прямоугольник: Черепаха проходит 7 единиц вверх и 11 единиц вправо, поэтому его границы имеют координаты $0 \leq x \leq 11$ и $0 \leq y \leq 7$.$$0 \leq x \leq 11,\quad 0 \leq y \leq 7$$
2. 2
   После первого прямоугольника Черепаха перемещается без рисования в точку $(9,1)$ и поворачивает голову вверх.$$(0,0) \to (0,1) \to (9,1)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт точек внутри фигур

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   После выполнения первого цикла линии ограничивают прямоугольник с координатами $0\le x\le12$ и $0\le y\le27$.$$N_1=(12-0+1)(27-0+1)=13\cdot28=364$$
2. 2
   После перемещения с поднятым хвостом Черепаха начинает построение второй фигуры из точки $(6,23)$. Второй прямоугольник ограничен координатами $-71\le x\le6$ и $-60\le y\le23$.$$N_2=(6-(-71)+1)(23-(-60)+1)=78\cdot84=6552$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Значение переменной после алгоритма

Определите значение переменной $c$ после выполнения фрагмента алгоритма. Примечание: знаком := обозначена операция присваивания.

1. 1
   В начале алгоритма $b=11$, $c=0$. Цикл выполняется, пока $b\ne1$.$$b=11,\quad c=0$$
2. 2
   На каждом шаге значение $b$ уменьшается на единицу, после чего это новое значение прибавляется к $c$.$$c=10+9+8+\dots+1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение переменной после цикла

Определите значение переменной $a$ после выполнения фрагмента алгоритма. В блок-схеме знаком * обозначено умножение, знаком := — операцию присваивания.

1. 1
   Изначально $a = 1$, $b = 0$.
2. 2
   Пока $b \ne 4$, выполняются команды $b := b + 1$ и $a := a * 2$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Максимальное число повторений

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду «сместиться на $(a, b)$», где $a$, $b$ — целые числа. Эта команда…

1. 1
   Пусть число повторений равно $n$. Суммарное смещение по оси $x$ должно быть равно нулю:$$2+n(a+2)-26=0$$
2. 2
   Суммарное смещение по оси $y$ также должно быть равно нулю:$$4+n(b-4)-20=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точки внутри области Черепахи

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   Последовательно выполняем команды Черепахи и строим ломаную на координатной плоскости. При поворотах на 45 градусов направления становятся диагональными, поэтому в координатах появляются выражения с $\sqrt{2}$.$$x'=x+l\cos\alpha,\quad y'=y+l\sin\alpha$$
2. 2
   После построения всей траектории выделяем ограниченную линией область. Перебираем точки с целыми координатами в её ограничивающем прямоугольнике и проверяем, лежит ли каждая точка строго внутри области.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление значения алгоритма

Напишите число, которое будет выведено в результате выполнения следующего алгоритма.

1. 1
   Функция принимает вид $F(x) = 2(x^2 - 16)^2 + 41$. Так как квадрат неотрицателен, минимальное значение функции равно $41$ и достигается при $x^2 = 16$, то есть при $x = -4$ и $x = 4$.$$F(-4) = F(4) = 41$$
2. 2
   Цикл перебирает значения $t$ от $-20$ до $20$. Условие содержит знак «меньше или равно», поэтому при одинаковом минимальном значении запись обновляется. Последним из двух значений будет $t = 4$, следовательно, $M = 4$ и $R = 41$.$$M + R = 4 + 41 = 45$$

Подсчёт точек внутри фигур

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   После выполнения первой команды «Повтори 2» Черепаха рисует прямоугольник от $x=0$ до $x=10$ и от $y=0$ до $y=3$. Его размеры — $10 \times 3$.
2. 2
   Число целочисленных точек внутри и на границе первого прямоугольника:$$(10+1)(3+1)=44$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Максимальное число повторений

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости. Команда «сместиться на $(a, b)$» перемещает его из точки $(x, y)$ в точку $(x+a, y+b)$, где $a$ и $b$ — целые числа. Чертёжнику был дан…

1. 1
   Суммарное смещение по оси $x$ должно быть равно нулю:$$4+n(a+4)-28=0$$
2. 2
   Отсюда получаем первое условие на число повторений:$$n(a+4)=24$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Подсчёт точек внутри области

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   После начальной команды «Направо 45» Черепаха направляется под углом 45° к осям. Последовательное выполнение команд строит ломаную из отрезков, направления которых повторяются с поворотом на 180°.
2. 2
   Вычисляем координаты всех вершин ломаной, начиная с точки $(0,0)$. Диагональные перемещения длиной 5 имеют приращения координат по модулю $5 / \sqrt{2}$, а горизонтальные и вертикальные перемещения длиной 10 изменяют одну координату на 10.

Ещё 2 шага — в полном решении

Пересечение фигур Черепахи

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   Первый цикл строит прямоугольную область с горизонтальными границами, среди которых для пересечения с второй фигурой используется диапазон $y$ от 9 до 15, а по оси $x$ область простирается от 0 до 20.$$0 \leq x \leq 20$$
2. 2
   После выполнения команды с поднятым хвостом Черепаха перемещается из точки $(0,0)$ в точку $(2,9)$ и начинает строить вторую фигуру. Поэтому общая часть по оси $x$ имеет границы от 2 до 20, а по оси $y$ — от 9 до 15.$$2 \leq x \leq 20,\quad 9 \leq y \leq 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Результат работы алгоритма

Определите число, которое будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма. Для удобства алгоритм представлен на пяти языках программирования. Функции $\mathrm{abs}$ и $\mathrm{iabs}$…

1. 1
   Рассмотрим функцию на промежутке $x\leq -4$. В этом случае $\left|x-1\right|=-x+1$, $\left|x+4\right|=-x-4$, поэтому$$F(x)=\left|-2x-12\right|+2$$
2. 2
   Наименьшее значение на этом промежутке достигается при $x=-6$: $F(-6)=2$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Пересечение фигур Черепахи

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси…

1. 1
   Первая последовательность команд строит прямоугольник: Черепаха проходит 21 единицу вверх и 27 единиц вправо, поэтому его границы имеют координаты $0 \leq x \leq 27$ и $0 \leq y \leq 21$.$$0 \leq x \leq 27,\quad 0 \leq y \leq 21$$
2. 2
   При поднятом хвосте Черепаха перемещается из начала координат на 9 единиц вверх и на 10 единиц вправо. Поэтому второй прямоугольник начинается в точке $(10,9)$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Максимальное число повторений

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Команда «сместиться на $(a, b)$» перемещает Чертёжника из точки $(x, y)$ в точку $(x+a, y+b)$, где $a$ и $b$…

1. 1
   Обозначим число повторений через $n$, а первое неизвестное смещение — через $(a,b)$. По оси $x$ суммарное смещение равно нулю:$$4+n(a-4)-28=0$$
2. 2
   Отсюда произведение $n(a-4)$ должно быть равно $24$, поэтому $n$ является делителем числа $24$.$$n(a-4)=24$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Последнее подходящее слово

Все пятибуквенные слова, составленные из букв А, К, Ц, Е, Н, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Определите, под каким номером в этом списке стоит последнее слово с чётным номером…

1. 1
   В алфавитном порядке заданные буквы располагаются так: А, Е, К, Н, Т, Ц. Слова, начинающиеся с Н, Т или Ц, не подходят. Последние подходящие слова начинаются с К.
2. 2
   Нумерация слов соответствует шестиричной системе счисления с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, которым соответствуют буквы А, Е, К, Н, Т, Ц.

Ещё 2 шага — в полном решении

Цепочки из бусин

Для составления цепочек используются бусины, помеченные буквами: M, N, O, P, S. В середине цепочки стоит одна из бусин M, O, S. На третьем месте — любая гласная, если первая буква согласная, и любая…

1. 1
   Средняя буква должна быть одной из M, O, S. Проверяем варианты: SMP, MSO и OSN подходят по этому условию, а SNO не подходит, так как в середине стоит N.
2. 2
   Первая буква должна быть одной из O, P, S и не совпадать со средней. Вариант SMP нарушает это условие: первая буква S совпадает со средней буквой M? Нет, но третья буква P должна быть гласной, так как первая буква S согласная. Поэтому…

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт пятизначных чисел

Сколько существует десятичных пятизначных чисел, не содержащих в своей записи цифру 5, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?

1. 1
   Без цифры 5 остаются чётные цифры $0, 2, 4, 6, 8$ — всего 5 цифр, и нечётные цифры $1, 3, 7, 9$ — всего 4 цифры.
2. 2
   Так как соседние цифры не могут иметь одинаковую чётность, возможны только два шаблона: ЧНЧНЧ или НЧНЧН.

Ещё 3 шага — в полном решении

Проверка цепочки по алгоритму

Для составления цепочек используются бусины, помеченные буквами А, Б, В, Г, Д, Е, по следующему правилу. На первом месте в цепочке стоит одна из бусин А, Б, В, Г. На втором — любая согласная буква…

1. 1
   Проверим цепочку ББДГ. Первая буква Б входит в множество А, Б, В, Г и является согласной.
2. 2
   Так как первая буква согласная, на втором месте также должна стоять согласная буква. Б — согласная.

Ещё 2 шага — в полном решении