Решение: Точки внутри области Черепахи
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя есть две команды: «Вперёд $n$», вызывающая передвижение Черепахи на $n$ единиц в том направлении, куда указывает её голова; «Направо $m$», вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов по часовой стрелке. Запись «Повтори $k$ [Команда1 Команда2 … Команда $S$]» означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
«Направо 90 Повтори 7 [Направо 45 Вперёд 11 Направо 45]».
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, которая ограничена линией, заданной алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
Решение по шагам
4 шагаПосле команды «Направо 90» направление движения становится восточным. В каждой итерации сначала выполняется поворот на 45 градусов и движение на 11 единиц, затем ещё один поворот на 45 градусов. Поэтому направление каждого следующего отрезка изменяется на 90 градусов.
$$45^\circ+45^\circ=90^\circ$$Первые четыре отрезка образуют замкнутый ромб. Три оставшихся отрезка повторяют его стороны и не изменяют ограниченную область. Длина проекции каждого отрезка на оси координат равна $a=\dfrac{11}{\sqrt{2}}$.
Вершины ромба имеют координаты $(0,0)$, $(a,-a)$, $(0,-2a)$ и $(-a,-a)$. Точка с целыми координатами находится внутри ромба, если выполняется неравенство $|x|+|y+a|<2a$, где $a=\dfrac{11}{\sqrt{2}}$.
Перебор целых значений $x$ и $y$ внутри этого ромба с исключением точек на границе даёт 113 точек.
Где здесь ошибаются
Считать семь отрезков сторонами семиугольника, хотя после первых четырёх отрезков траектория начинает повторяться.
Учитывать точки, лежащие на границе ромба.
Забыть, что после команды «Направо 90» начальное направление движения становится восточным.