Решение: Подсчёт точек внутри области
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен.
При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. У исполнителя существуют команды: «Вперёд $n$», вызывающая передвижение Черепахи на $n$ единиц в направлении её головы, и «Направо $m$», изменяющая направление движения на $m$ градусов по часовой стрелке.
Запись «Повтори $k$ [Команда1 Команда2 … Команда $S$]» означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.
Черепахе был дан алгоритм: «Направо 45 Повтори 7 [Вперёд 5 Направо 45 Вперёд 10 Направо 135]».
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, которая ограничена линией, заданной алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
Решение по шагам
4 шагаПосле начальной команды «Направо 45» Черепаха направляется под углом 45° к осям. Последовательное выполнение команд строит ломаную из отрезков, направления которых повторяются с поворотом на 180°.
Вычисляем координаты всех вершин ломаной, начиная с точки $(0,0)$. Диагональные перемещения длиной 5 имеют приращения координат по модулю $5 / \sqrt{2}$, а горизонтальные и вертикальные перемещения длиной 10 изменяют одну координату на 10.
По полученной замкнутой области перебираем целочисленные точки в её ограничивающем прямоугольнике. Точки, лежащие на границе, не учитываем.
После проверки принадлежности области остаётся 27 точек с целочисленными координатами.
Где здесь ошибаются
Учитывают точки, лежащие на линии границы.
Поворачивают Черепаху против часовой стрелки вместо поворота по часовой стрелке.
Считают только точки с неотрицательными координатами.
Ошибочно принимают каждое перемещение под углом 45° за изменение обеих координат на 5.