Задание 12 ЕНТ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

0,58(3) периодты ондық бөлшегін жай бөлшекке келтіріңіз. Бөлімі мен алымының айырмасын таб

0,58(3) периодты ондық бөлшегін жай бөлшекке келтіріңіз. Бөлімі мен алымының айырмасын табыңыз.

Найдите значение выражения: $\left(\cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{12}\right) \cdot \

Найдите значение выражения: $\left(\cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{12}\right) \cdot \left(\sin\frac{\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12}\right)$

1. 1
   Применим формулы суммы-разности для косинусов и синусов: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2), sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2).$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \quad \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
2. 2
   Пусть A = 5π/12, B = π/12. Тогда (A+B)/2 = (6π/12)/2 = π/4, (A-B)/2 = (4π/12)/2 = π/6.$$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 дм, а высота равна 6 дм. Найдите апоф

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 дм, а высота равна 6 дм. Найдите апофему (боковую высоту) пирамиды.

1. 1
   Апофема — это высота бокового треугольника, проведенная из вершины пирамиды к середине стороны основания.
2. 2
   Основание — квадрат со стороной 5 дм, поэтому расстояние от центра основания до стороны (апотема основания) равно половине стороны: $\frac{5}{2}=2.5$ дм.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите неравенство: (x - 4)²(3 - x)(5x + 10) ≥ 0

Решите неравенство: $(x - 4)^2(3 - x)(5x + 10) \ge 0$

1. 1
   Найдём корни выражения: $(x-4)^2=0$ при $x=4$, $3-x=0$ при $x=3$, $5x+10=0$ при $x=-2$. Кратности: у $(x-4)^2$ — чётная (2), у $(3-x)$ и $(5x+10)$ — нечётные (по 1).
2. 2
   Запишем неравенство в виде произведения с учётом знаков: $5(x+1)(x-4)^2(3-x) \ge 0$ (вынесем положительный множитель 5, не влияющий на знак). Множитель $(x-4)^2 \ge 0$ всегда, равен нулю только при $x=4$. Знак определяется $(x+1)(3-x)$…

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решите систему неравенств $\begin{cases} 5(x-4) \le 1 - 2x \\ 3x - 1 < 15 + 11x \end{cases

Решите систему неравенств $\begin{cases} 5(x-4) \le 1 - 2x \\ 3x - 1 < 15 + 11x \end{cases}$

1. 1
   Решаем первое неравенство: $5(x-4) \le 1 - 2x$ раскрываем скобки: $5x - 20 \le 1 - 2x$ переносим члены: $5x + 2x \le 1 + 20 \Rightarrow 7x \le 21 \Rightarrow x \le 3$$$7x \le 21$$
2. 2
   Решаем второе неравенство: $3x - 1 < 15 + 11x$ переносим члены: $3x - 11x < 15 + 1 \Rightarrow -8x < 16 \Rightarrow x > -2$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)$$-8x < 16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите неравенство: 4/(2x-9) > 0

Решите неравенство: $\frac{4}{2x-9} > 0$

1. 1
   Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки.
2. 2
   Числитель 4 > 0 всегда, поэтому знаменатель должен быть > 0.

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите логарифмическое неравенство: log₂ x + logₓ 8 - 4 < 0

Решите логарифмическое неравенство: $\log_2 x + \log_x 8 - 4 < 0$

1. 1
   Область допустимых значений: $x>0$, $x\neq1$. Обозначим $t=\log_2 x$ ($t\neq0$). Тогда $\log_x 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 x} = \frac{3}{t}$.
2. 2
   Неравенство становится $t + \frac{3}{t} - 4 < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{t^2-4t+3}{t} < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{(t-1)(t-3)}{t} < 0$.

Ещё 3 шага — в полном решении