Тапсырма 12 ЕНТ по математика: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

0,58(3) периодты ондық бөлшегін жай бөлшекке келтіріңіз. Бөлімі мен алымының айырмасын таб

0,58(3) периодты ондық бөлшегін жай бөлшекке келтіріңіз. Бөлімі мен алымының айырмасын табыңыз.

Найдите значение выражения: $\left(\cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{12}\right) \cdot \

Найдите значение выражения: $\left(\cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{12}\right) \cdot \left(\sin\frac{\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12}\right)$

1. 1
   Применим формулы суммы-разности для косинусов и синусов: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2), sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2).$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \quad \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
2. 2
   Пусть A = 5π/12, B = π/12. Тогда (A+B)/2 = (6π/12)/2 = π/4, (A-B)/2 = (4π/12)/2 = π/6.$$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Тік бұрышты квадрат пирамидада негізгі қыры 5 дм, биіктігі 6 дм. Пирамиданың апофемасын (көлбеу биіктігін) табыңыз.

Тік бұрышты квадрат пирамидада негізгі қыры 5 дм, биіктігі 6 дм. Пирамиданың апофемасын (көлбеу биіктігін) табыңыз.

1. 1
   Апофема — это высота бокового треугольника, проведенная из вершины пирамиды к середине стороны основания.
2. 2
   Основание — квадрат со стороной 5 дм, поэтому расстояние от центра основания до стороны (апотема основания) равно половине стороны: $\frac{5}{2}=2.5$ дм.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Решите неравенство: (x - 4)²(3 - x)(5x + 10) ≥ 0

Решите неравенство: $(x - 4)^2(3 - x)(5x + 10) \ge 0$

1. 1
   Найдём корни выражения: $(x-4)^2=0$ при $x=4$, $3-x=0$ при $x=3$, $5x+10=0$ при $x=-2$. Кратности: у $(x-4)^2$ — чётная (2), у $(3-x)$ и $(5x+10)$ — нечётные (по 1).
2. 2
   Запишем неравенство в виде произведения с учётом знаков: $5(x+1)(x-4)^2(3-x) \ge 0$ (вынесем положительный множитель 5, не влияющий на знак). Множитель $(x-4)^2 \ge 0$ всегда, равен нулю только при $x=4$. Знак определяется $(x+1)(3-x)$…

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз 5(x-4) ≤ 1 - 2x ; 3x - 1 < 15 + 11x

Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз $\begin{cases} 5(x-4) \le 1 - 2x \\ 3x - 1 < 15 + 11x \end{cases}$

1. 1
   Решаем первое неравенство: $5(x-4) \le 1 - 2x$ раскрываем скобки: $5x - 20 \le 1 - 2x$ переносим члены: $5x + 2x \le 1 + 20 \Rightarrow 7x \le 21 \Rightarrow x \le 3$$$7x \le 21$$
2. 2
   Решаем второе неравенство: $3x - 1 < 15 + 11x$ переносим члены: $3x - 11x < 15 + 1 \Rightarrow -8x < 16 \Rightarrow x > -2$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)$$-8x < 16$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Решите неравенство: 4/(2x-9) > 0

Решите неравенство: $\frac{4}{2x-9} > 0$

1. 1
   Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки.
2. 2
   Числитель 4 > 0 всегда, поэтому знаменатель должен быть > 0.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Логарифмдік теңсіздікті шешіңіз: log₂ x + logₓ 8 - 4 < 0

Логарифмдік теңсіздікті шешіңіз: $\log_2 x + \log_x 8 - 4 < 0$

1. 1
   Область допустимых значений: $x>0$, $x\neq1$. Обозначим $t=\log_2 x$ ($t\neq0$). Тогда $\log_x 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 x} = \frac{3}{t}$.
2. 2
   Неравенство становится $t + \frac{3}{t} - 4 < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{t^2-4t+3}{t} < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{(t-1)(t-3)}{t} < 0$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде