Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Теория вероятностей» — с ответами

Вероятность доклада в последний день

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов: первые два дня — по 8 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется…

1. 1
   Определим количество докладов, запланированных на третий и четвёртый дни:$$40 - 8 - 8 = 24$$
2. 2
   Доклады поровну распределены между третьим и четвёртым днями, поэтому на последний день запланировано:$$24 : 2 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность одной из тем

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос…

1. 1
   События «вопрос по теме “Тригонометрия”» и «вопрос по теме “Вписанная окружность”» несовместны, поэтому их вероятности складываются.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Подставим значения вероятностей:$$P = 0{,}35 + 0{,}3 = 0{,}65$$

Вероятность выпадения орла

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

1. 1
   При двух бросках монеты возможны четыре равновероятных исхода: орёл–орёл, орёл–решка, решка–орёл, решка–решка.$$N=2^2=4$$
2. 2
   Ровно один раз орёл выпадает в двух исходах: орёл–решка и решка–орёл.$$m=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность невыбора Миши

Олег, Петя, Миша и Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет не Миша.

1. 1
   Всего возможны четыре равновероятных варианта: начать игру может любой из четырёх игроков.$$4$$
2. 2
   Благоприятных вариантов три: игру может начать Олег, Петя или Дима.$$3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность доклада в день

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня — по 12 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции…

1. 1
   После первых двух дней остаётся 26 докладов:$$50 - 2 \cdot 12 = 26$$
2. 2
   Доклады поровну распределены между третьим и четвёртым днями, поэтому на последний день приходится 13 докладов:$$\dfrac{26}{2} = 13$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перегорание двух ламп

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,05. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

1. 1
   События, связанные с перегоранием ламп, считаем независимыми.$$P(A \cap B)=P(A)P(B)$$
2. 2
   Подставим вероятность перегорания одной лампы:$$P=0{,}05\cdot0{,}05=0{,}0025$$

Вероятность спортсмена из Швеции

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены…

1. 1
   Найдём общее число спортсменов:$$4+7+9+5=25$$
2. 2
   Благоприятных исходов 9: последним может выступить любой из 9 спортсменов из Швеции.$$P=\dfrac{9}{25}=0{,}36$$

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Саши было четыре конфеты — «Грильяж», «Взлётная», «Коровка» и «Мишка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того…

1. 1
   Всего в кармане было четыре конфеты, и любая из них могла выпасть.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятным является только один исход — выпадение конфеты «Взлётная».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления первой

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 19 из России, 24 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Китая:$$50 - 19 - 24 = 7$$
2. 2
   Вероятность того, что первой выступит спортсменка из Китая, равна отношению числа спортсменок из Китая к общему числу участниц:$$P = \dfrac{7}{50} = 0{,}14$$

Вероятность одной из тем

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по…

1. 1
   События «вопрос по теме “Тригонометрия”» и «вопрос по теме “Вписанная окружность”» несовместны, так как нет вопросов, относящихся одновременно к обеим темам.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Складываем данные вероятности:$$P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}25 = 0{,}55$$

Вероятность удобного места

На борту самолёта 23 места рядом с запасными выходами и 22 места за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Л. высокого роста. Найдите…

1. 1
   Удобными для пассажира высокого роста являются места рядом с запасными выходами и места за перегородками.$$m = 23 + 22 = 45$$
2. 2
   Используем классическое определение вероятности: вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{45}{300} = 0{,}15$$

Вероятность протечки насоса

В среднем из 200 садовых насосов, поступивших в продажу, 20 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает.

1. 1
   Общее число насосов равно 200, из них 20 подтекают.
2. 2
   Вероятность выбрать подтекающий насос равна отношению числа подтекающих насосов к общему числу насосов.$$P = \dfrac{20}{200} = 0{,}1$$

Вероятность небитья стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,78. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   События «стекло разобьётся» и «стекло не разобьётся» являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1.$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}78 = 0{,}22$$

Вероятность выступления в день

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано…

1. 1
   После первого дня остаётся 48 выступлений. Они поровну распределены между четырьмя оставшимися днями.$$80 - 32 = 48$$
2. 2
   На третий день запланировано 12 выступлений.$$48 : 4 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления по дням

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано…

1. 1
   После первого дня остаётся $50-18=32$ выступления. Они поровну распределены между четырьмя днями.$$32:4=8$$
2. 2
   В третий день запланировано 8 выступлений. Так как порядок выступлений определяется жеребьёвкой, вероятность участия исполнителя из России в третий день равна отношению числа выступлений в этот день к общему числу выступлений.$$P=\dfrac{8}{50}=0{,}16$$

Вероятность второй группы

В чемпионате мира участвуют 20 команд, среди которых есть команда Китая. С помощью жеребьёвки их нужно разделить на пять групп, по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с…

1. 1
   Всего в ящике 20 карточек, из них 4 карточки имеют номер 2.$$n = 20,\quad m = 4$$
2. 2
   Вероятность того, что команда Китая вытянет карточку с номером 2, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2$$

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность того, что оба автомата неисправны, равна произведению вероятностей.$$P = 0{,}2 \cdot 0{,}2$$
2. 2
   Вычислим произведение:$$P = 0{,}04$$

Вероятность скрытого дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 120 сумок, поступивших в продажу, 6 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется со скрытым дефектом.

1. 1
   Общее число сумок равно 120, число сумок со скрытым дефектом — 6.
2. 2
   Вероятность случайно выбрать сумку со скрытым дефектом равна отношению числа дефектных сумок к общему числу сумок.$$P = \dfrac{6}{120} = 0{,}05$$

Вероятность вопроса по теме

В сборнике билетов по физике всего 25 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Термодинамика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 25, а число билетов с вопросом по теме «Термодинамика» равно 11.$$n = 25,\quad m = 11$$
2. 2
   Находим вероятность как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{11}{25} = 0{,}44$$

Вероятность удобного места

На борту самолёта 15 мест расположены рядом с запасными выходами и 20 мест — за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир К. высокого роста…

1. 1
   Определим число удобных мест: к местам рядом с запасными выходами добавим места за перегородками.$$15 + 20 = 35$$
2. 2
   Вероятность случайно получить удобное место равна отношению числа удобных мест к общему числу мест в самолёте.$$P = \dfrac{35}{250} = 0{,}14$$