На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На…
- 1
Обозначим количество синих карточек через $b$, а количество красных карточек через $r$. Тогда наибольшее число на синей карточке равно $r$, а наибольшее число на красной карточке равно $2b$.
- 2
Так как число $r$ написано на синей карточке и делится на 5, число $r$ положительно и делится на 5. Числа, кратные 5, от $-120$ до $r$, образуют последовательность $-115,-110,\ldots,r$. Их количество равно $\frac{r+120}{5}$. Поэтому…
Ещё 5 шагов — в полном решении
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое…
- 1
Расположим числа на доске в порядке возрастания: $a_1<a_2<\dots<a_n$. Тогда произведение двух наименьших чисел должно быть больше 25, а произведение двух наибольших — меньше 85.$$a_1a_2>25,\qquad a_{n-1}a_n<85$$
- 2
Для пяти чисел рассмотрим набор $5,6,7,8,10$. Произведение двух наименьших равно $30>25$, а произведение двух наибольших равно $80<85$. Все остальные попарные произведения находятся между ними, поэтому условие выполнено.$$5\cdot6=30>25,\qquad 8\cdot10=80<85$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
- 1
Пять чисел возможны: возьмём числа $6,7,8,9,10$. Наименьшее произведение равно $6\cdot7=42>40$, а наибольшее — $9\cdot10=90<100$. Значит, для любых двух выбранных чисел произведение лежит между $40$ и $100$.
- 2
Докажем, что шесть чисел невозможны. Пусть числа упорядочены: $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$. Из условия $a_1a_6<100$ и $a_5a_6<100$. Для достаточно больших значений $a_1$ допустимый интервал для остальных чисел слишком узок, а при малых…
Ещё 3 шага — в полном решении
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На…
- 1
Пусть $b$ — количество синих карточек, а $r$ — количество красных карточек. По условию наибольшее число на синей карточке равно $r$, поэтому $r$ является числом, кратным 3. Наибольшее число на красной карточке равно $2b$.
- 2
Все синие числа — различные числа, кратные 3, большие $-36$ и не превосходящие $r$. Это числа $-33,-30,\ldots,r$. Их количество равно $\dfrac{r+33}{3}+1=\dfrac{r}{3}+12$. Поэтому $b\leq \dfrac{r}{3}+12$.
Ещё 5 шагов — в полном решении
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из…
- 1
Пусть $a$ и $b$ — любые два записанных числа. Выберем ещё $k-1$ чисел, где $k\in\{3,4,5,6\}$. Средние арифметические набора, содержащего $a$, и набора, содержащего $b$, являются целыми, поэтому суммы обоих наборов делятся на $k$. Их…
- 2
Таким образом, любые два записанных числа сравнимы по модулю $3$, $4$, $5$ и $6$. Поэтому они сравнимы по модулю $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)=60$.
Ещё 6 шагов — в полном решении