Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Соответствие графиков и свойств

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке $[-1; 1]$.

1. 1
   График А на всём отрезке находится ниже оси $Ox$, поэтому функция принимает только отрицательные значения.
2. 2
   На графике Б значения функции уменьшаются при движении слева направо, поэтому функция убывает.

Ещё 2 шага — в полном решении

Рождаемость по месяцам

На рисунке точками изображено число родившихся мальчиков и девочек по отдельности за каждый календарный месяц 2013 года в городском роддоме. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — число…

1. 1
   В январе, феврале и марте значения числа рождений мальчиков и девочек отличаются не более чем на 5.
2. 2
   С апреля по июнь во всех трёх месяцах мальчиков рождалось больше, чем девочек.

Ещё 2 шага — в полном решении

Исследование функции по графику

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ задают на оси $Ox$ интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или…

1. 1
   На интервале $(a;b)$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому функция положительна. Сначала график возрастает, затем убывает, значит производная принимает оба знака.$$f(x)>0, f'(x)\text{ принимает положительные и отрицательные значения}$$
2. 2
   На интервале $(b;c)$ график пересекает ось $Ox$ и имеет участок возрастания и участок убывания. Поэтому и функция, и её производная принимают положительные и отрицательные значения.$$f(x)\text{ и }f'(x)\text{ принимают значения разных знаков}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Максимальное давление в среду

На рисунке показано изменение атмосферного давления в течение трёх суток. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба). Определите…

1. 1
   На графике выделяем участок, соответствующий среде.
2. 2
   Самая высокая точка кривой на этом участке находится на уровне 755 миллиметров ртутного столба.

Крутящий момент двигателя

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси — крутящий момент в Н · м…

1. 1
   На интервале 1000–3000 об/мин график поднимается, поэтому крутящий момент растёт.
2. 2
   На интервале 3000–3500 об/мин график горизонтален, поэтому крутящий момент не меняется.

Ещё 2 шага — в полном решении

Добыча угля по годам

На рисунке точками показан годовой объём добычи угля в России открытым способом в период с 2001 по 2010 год. По горизонтали указан год, по вертикали — объём добычи угля (в миллионах тонн). Для…

1. 1
   На периоде 2001–2003 гг. объём добычи сначала уменьшается с 175 млн т до примерно 165 млн т, а затем увеличивается до примерно 183 млн т. Это характеристика 3.
2. 2
   На периоде 2003–2005 гг. значения объёма находятся выше 175 млн т и ниже 200 млн т. Это характеристика 4.

Ещё 2 шага — в полном решении

Производная линейной функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке $x = 1$.

1. 1
   Производная линейной функции $y = kx + b$ постоянна и равна угловому коэффициенту прямой.$$y' = k$$
2. 2
   По графику А при увеличении $x$ на $3$ единицы значение $y$ уменьшается на $2$ единицы, поэтому $k = -\dfrac{2}{3}$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Характеристики функций по графикам

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке $[-1; 1]$.

1. 1
   На графике А при движении слева направо значения функции уменьшаются, поэтому функция убывает.
2. 2
   На графике Б есть вершина, соответствующая точке максимума функции на отрезке $[-1; 1]$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Частота пульса гимнаста

На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях. На горизонтальной оси отмечено время (в минутах), прошедшее с начала…

1. 1
   На интервале от 4 до 5 минут график всё время возрастает.
2. 2
   На интервале от 5 до 6 минут график достигает наибольшего значения за всё время наблюдения.

Ещё 2 шага — в полном решении

Изменение частоты пульса

На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях. На горизонтальной оси отмечено время (в минутах), прошедшее с начала…

1. 1
   На интервале 2–3 мин график частоты пульса снижается на всём интервале.
2. 2
   На интервале 3–4 мин график сначала снижается, достигая минимума, а затем начинает расти.

Ещё 2 шага — в полном решении

Характеристики функций

Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций.

1. 1
   Функция А — квадратичная, коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх и функция имеет точку минимума.$$А \rightarrow 4$$
2. 2
   Функция Б — линейная, коэффициент при $x$ равен $10 > 0$, поэтому функция возрастает.$$Б \rightarrow 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   Для прямой $y = kx + b$ угловой коэффициент $k$ показывает направление и крутизну наклона графика.$$k>0 \Rightarrow \text{прямая возрастает};\quad k<0 \Rightarrow \text{прямая убывает}$$
2. 2
   График А возрастает полого, поэтому ему соответствует небольшое положительное значение $0{,}4$.$$А \to 1$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Производная по графику касательной

На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точке с абсциссой $x_0$. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0$.

1. 1
   Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   На графике А касательная убывает наиболее круто, поэтому её коэффициент наклона равен $-2$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Производная по графику касательной

На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой $x_0$. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0$.

1. 1
   Производная в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   На графике А касательная возрастает; по клеткам её угловой коэффициент равен $\dfrac{4}{3}$.$$А \to 4$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Изменение атмосферного давления

На рисунке точками показано атмосферное давление в некотором городе на протяжении трёх суток, с 4 по 6 апреля 2023 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00, в 6:00, в 12:00 и в…

1. 1
   В ночь 4 апреля давление выросло с 755 до 758 мм рт. ст., поэтому подходит характеристика 2.
2. 2
   Днём 4 апреля давление снизилось с 758 до 757 мм рт. ст., поэтому подходит характеристика 4.

Ещё 2 шага — в полном решении

Потребление воды по времени

На рисунке точками показано потребление воды городской ТЭЦ на протяжении суток. По горизонтали указано время, по вертикали — объём воды (в кубометрах в час). Для наглядности точки соединены линиями…

1. 1
   С 0 до 6 часов график расположен ниже отметки 20 кубометров в час.
2. 2
   С 6 до 12 часов потребление возрастает примерно с 8 до 56 кубометров в час, то есть увеличивается более чем втрое.

Ещё 2 шага — в полном решении

Производная по графику

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   В точке $A$ касательная убывает наиболее круто, поэтому $f'(A)=-1,5$, то есть номер 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Минимальное давление в среду

На рисунке показано изменение атмосферного давления в течение трёх суток. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Определите…

1. 1
   Находим на графике участок, соответствующий среде.
2. 2
   На этом участке самая нижняя точка кривой расположена на уровне 752 мм рт. ст.

Знаки коэффициентов линейной функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

1. 1
   Для функции $y = kx + b$ знак коэффициента $k$ определяют по наклону прямой: возрастающая прямая имеет $k > 0$, убывающая — $k < 0$.$$y = kx + b$$
2. 2
   Знак коэффициента $b$ определяют по точке пересечения графика с осью $y$: выше начала координат — $b > 0$, ниже — $b < 0$.$$b = y(0)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Изменение температуры по графику

На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки…

1. 1
   В периоде 1–7 января в конце периода температура остаётся постоянной, около −10 °C.
2. 2
   В периоде 8–14 января температура достигает наибольшего значения за месяц — около 1 °C.

Ещё 2 шага — в полном решении