Решение: Исследование функции по графику
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ задают на оси $Ox$ интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
Решение по шагам
4 шагаНа интервале $(a;b)$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому функция положительна. Сначала график возрастает, затем убывает, значит производная принимает оба знака.
$$f(x)>0, f'(x)\text{ принимает положительные и отрицательные значения}$$На интервале $(b;c)$ график пересекает ось $Ox$ и имеет участок возрастания и участок убывания. Поэтому и функция, и её производная принимают положительные и отрицательные значения.
$$f(x)\text{ и }f'(x)\text{ принимают значения разных знаков}$$На интервале $(c;d)$ график возрастает, поэтому производная положительна. При этом график пересекает ось $Ox$, так что функция принимает значения обоих знаков.
$$f'(x)>0, f(x)\text{ принимает положительные и отрицательные значения}$$На интервале $(d;e)$ график расположен выше оси $Ox$ и возрастает. Следовательно, функция и её производная положительны.
$$f(x)>0, f'(x)>0$$Где здесь ошибаются
Путать знак функции со знаком производной.
Определять знак производной по расположению графика относительно оси $Ox$, а не по направлению его движения.
Не учитывать изменение направления графика внутри интервала $(a;b)$.