ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Логика және кестелер» — жауаптарымен

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём общее число договоров, посчитанных со стороны каждой страны:$$4 \cdot 4 + 6 \cdot 5 = 16 + 30 = 46$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$46 : 2 = 23$$

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Подсчитаем общее число концов проводов, отходящих от столбов:$$8 \cdot 4 = 32$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$32 : 2 = 16$$

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Галя, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Галя живёт в квартире № 69. В каком подъезде живёт Галя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 3 = 15$$
2. 2
   Первые төрт подъезда содержат квартиры до нөмір:$$4 \cdot 15 = 60$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Соня, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Соня живёт в квартире № 84. В каком подъезде живёт Соня?

1. 1
   В одном подъезде находится $9 \cdot 3 = 27$ квартир.$$9 \cdot 3 = 27$$
2. 2
   Квартиры с номерами от 1 до 27 находятся в первом подъезде, от 28 до 54 — во втором, от 55 до 81 — в третьем. Квартира № 84 находится в следующем, четвёртом подъезде.$$84 = 3 \cdot 27 + 3$$

Подсчёт проводов между столбами

Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число концов проводов, отходящих от всех столбов:$$9 \cdot 8 = 72$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$N=\dfrac{72}{2}=36$$

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $5 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 14 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 5 строк имеется 4 пары соседних клеток по горизонтали, поэтому горизонтальных пар $5 \cdot 4 = 20$.
2. 2
   Аналогично, вертикальных пар также $5 \cdot 4 = 20$. Всего пар соседних клеток:$$20 + 20 = 40$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество досок по распилам

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 12 поперечных распилов, в итоге получилось 22 куска. Сколько досок взяли?

1. 1
   Пусть взяли $x$ досок. До распиливания было $x$ кусков.
2. 2
   Каждый распил увеличивает число кусков на один, поэтому после 12 распилов стало $x + 12$ кусков.$$x + 12 = 22$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с двумя. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Посчитаем суммарное количество договоров, заключённых всеми странами: четыре страны подписали по пять договоров, а шесть стран — по два договора.$$4 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 32$$
2. 2
   Каждый договор заключён двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$N = \dfrac{32}{2} = 16$$

Договоры между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Посчитаем сумму количеств договоров, заключённых каждой страной:$$4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 = 12 + 30 = 42$$
2. 2
   Каждый договор при таком подсчёте учитывается дважды — по одному разу для каждой из двух стран.$$42 : 2 = 21$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём суммарное число участий стран в договорах:$$7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 = 42$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$42 : 2 = 21$$

Квартира и подъезд

В доме, в котором живёт Катя, 17 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Катя живёт в квартире № 78. В каком подъезде живёт Катя?

1. 1
   Определим количество квартир в одном подъезде:$$17 \cdot 3 = 51$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 51. Квартира № 78 относится ко второму подъезду, так как $51 < 78 \leq 102$.$$2 \cdot 51 = 102$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Сложим количество договоров, заключённых каждой страной:$$4 \cdot 4 + 6 \cdot 3 = 16 + 18 = 34$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$34 : 2 = 17$$

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $6 \times 4$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 19 пар соседних клеток разного цвета и 15 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 6 строк есть по $4-1=3$ горизонтальные пары соседних клеток. Всего горизонтальных пар:$$6 \cdot 3 = 18$$
2. 2
   В каждом из 4 столбцов есть по $6-1=5$ вертикальных пар соседних клеток. Всего вертикальных пар:$$4 \cdot 5 = 20$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Подсчёт проводов между столбами

Семь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими семью столбами?

1. 1
   Суммарное количество проводов, отходящих от столбов, равно:$$7 \cdot 6 = 42$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте он учтён дважды. Делим полученную сумму на 2:$$\frac{42}{2} = 21$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём суммарное число договоров, если считать каждый договор со стороны каждой страны.$$4 \cdot 5 + 6 \cdot 3 = 20 + 18 = 38$$
2. 2
   Каждый договор при таком подсчёте учтён дважды: для каждой из двух стран, его подписавших.$$N = \dfrac{38}{2} = 19$$

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   У он столбов всего насчитывается $10 \cdot 8 = 80$ отходящих концов проводов.$$10 \cdot 8 = 80$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому каждый провод учтён дважды.$$N = \dfrac{80}{2} = 40$$

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество концов проводов у всех столбов:$$10 \cdot 5 = 50$$
2. 2
   Каждый провод имеет два конца, поэтому при подсчёте по столбам каждый провод учтён дважды:$$50 : 2 = 25$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран две подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся восьми — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём общее число участий стран в договорах:$$2 \cdot 6 + 8 \cdot 5 = 12 + 40 = 52$$
2. 2
   Каждый договор посчитан дважды — по одному разу для каждой из двух стран. Поэтому число договоров равно:$$\dfrac{52}{2} = 26$$

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $7 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 7 строк имеется 4 пары соседних клеток по горизонтали, поэтому горизонтальных пар $7 \cdot 4 = 28$.$$7 \cdot (5-1)=28$$
2. 2
   В каждом из 5 столбцов имеется 6 пар соседних клеток по вертикали, поэтому вертикальных пар $5 \cdot 6 = 30$.$$5 \cdot (7-1)=30$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем количество концов проводов, отходящих от всех столбов:$$10 \cdot 6 = 60$$
2. 2
   Каждый провод имеет два конца, поэтому при подсчёте по столбам каждый провод учтён дважды:$$60 : 2 = 30$$