Задание 5 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Вероятность выступления китайца

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 7 спортсменов из России и 6 спортсменов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Поскольку порядок выступлений определяется случайной жеребьёвкой, каждый из 40 спортсменов имеет одинаковую вероятность выступать пятым.
2. 2
   Благоприятными являются 6 спортсменов из Китая.$$P = \dfrac{6}{40} = 0{,}15$$

Вероятность выбрать зелёный чай

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 3 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно…

1. 1
   Пусть количество пакетиков с зелёным чаем равно $x$. Тогда пакетиков с чёрным чаем $3x$, а всего пакетиков $4x$.$$N = x + 3x = 4x$$
2. 2
   Вероятность выбрать пакетик с зелёным чаем равна отношению числа зелёных пакетиков к общему числу пакетиков.$$P = \dfrac{x}{4x} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$$

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,3 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей.$$P = 0{,}3 \cdot 0{,}3$$
2. 2
   Вычислим произведение:$$P = 0{,}09$$

Вероятность неповреждения стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,75. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Событие «стекло не разобьётся» противоположно событию «стекло разобьётся».$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$$

Вероятность отсутствия дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 125 сумок, поступивших в продажу, 5 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без скрытого дефекта.

1. 1
   Определим количество сумок без скрытого дефекта:$$125 - 5 = 120$$
2. 2
   Разделим число сумок без дефекта на общее количество сумок:$$P = \dfrac{120}{125} = 0{,}96$$

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Миши было четыре конфеты — «Красная шапочка», «Маска», «Взлётная» и «Белочка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите…

1. 1
   Всего в кармане было четыре конфеты, и каждая из них могла выпасть с одинаковой вероятностью.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятный исход только один — выпадение конфеты «Маска».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность жёлтого такси

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 8 чёрных, 7 жёлтых и 5 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему…

1. 1
   Общее число возможных машин — 20, благоприятных исходов — 7, так как жёлтых машин 7.$$P=\dfrac{7}{20}$$
2. 2
   Переводим дробь в десятичную:$$\dfrac{7}{20}=0{,}35$$

Вероятность доклада в день

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день — 16 докладов, остальные доклады распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется…

1. 1
   Определим количество докладов, распределённых между вторым и третьим днями:$$50 - 16 = 34$$
2. 2
   Доклады распределены поровну, поэтому на последний день запланировано:$$34 : 2 = 17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность хорошей ручки

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,19. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет…

1. 1
   Событие, состоящее в том, что ручка пишет хорошо, противоположно событию, что она пишет плохо или вовсе не пишет.$$P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо или не пишет})$$
2. 2
   Находим искомую вероятность:$$1 - 0{,}19 = 0{,}81$$

Вероятность вопроса по геометрии

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 13 из них встречается вопрос по теме «Геометрия». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 20, а благоприятных билетов — 13.$$n = 20,\quad m = 13$$
2. 2
   Находим вероятность события как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{13}{20} = 0{,}65$$

Вероятность выбора такси

В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему…

1. 1
   Всего свободно 15 машин, из них 6 жёлтых.
2. 2
   Вероятность того, что случайно выбранная машина окажется жёлтой, равна отношению числа жёлтых машин к общему числу машин.$$P = \dfrac{6}{15} = 0{,}4$$

Вероятность объединения событий

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по…

1. 1
   События «вопрос по теме “Тригонометрия”» и «вопрос по теме “Внешние углы”» несовместны, так как нет вопросов, относящихся одновременно к обеим темам.$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$$
2. 2
   Складываем данные вероятности:$$P(A \cup B)=0{,}2+0{,}15=0{,}35$$

Вероятность спортсменки из Парагвая

В чемпионате по гимнастике участвуют 80 спортсменок: 23 из Аргентины, 29 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того…

1. 1
   Найдём число спортсменок из Парагвая:$$80 - 23 - 29 = 28$$
2. 2
   Все спортсменки имеют одинаковую вероятность выступить первыми. Поэтому вероятность того, что первой выступит спортсменка из Парагвая, равна:$$P = \dfrac{28}{80} = 0{,}35$$

Вероятность протечки насоса

В среднем из 150 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает.

1. 1
   Общее число насосов равно 150, из них подтекают 6. Вероятность выбрать подтекающий насос равна отношению числа таких насосов к общему числу насосов.$$P = \dfrac{6}{150}$$
2. 2
   Выполним деление:$$P = \dfrac{6}{150} = 0{,}04$$

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,5 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность того, что оба автомата неисправны, равна произведению вероятностей.$$P = 0{,}5 \cdot 0{,}5$$
2. 2
   Вычислим произведение.$$P = 0{,}25$$

Вероятность последнего дня

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 25 докладов: в первый день — 9 докладов, остальные доклады распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется…

1. 1
   После первого дня остаётся $25 - 9 = 16$ докладов. Они распределены поровну между вторым и третьим днями, поэтому на последний день приходится $16 : 2 = 8$ докладов.$$n_3 = \dfrac{25 - 9}{2} = 8$$
2. 2
   При случайном порядке доклад профессора М. с одинаковой вероятностью может оказаться среди любого из 25 докладов. Благоприятны 8 мест последнего дня.$$P = \dfrac{8}{25} = 0{,}32$$

Вероятность объединения событий

В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения, которого нет в меню. Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут тарталетку с сыром, равна 0,25…

1. 1
   Посетителю приносят только один комплимент, поэтому получение тарталетки с сыром и получение мороженого — несовместные события.
2. 2
   Вероятность получения одного из двух комплиментов равна сумме вероятностей.$$P=0{,}25+0{,}2=0{,}45$$

Вероятность попасть в аудиторию

На олимпиаде по русскому языку 400 участников собираются разместить в трёх аудиториях: в первых двух аудиториях — по 130 человек, оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите…

1. 1
   Найдём количество участников, которых разместят в запасной аудитории:$$400 - 2 \cdot 130 = 140$$
2. 2
   Вероятность попадания случайно выбранного участника в запасную аудиторию равна отношению числа мест в ней к общему числу участников:$$P = \dfrac{140}{400} = 0{,}35$$

Вероятность неповреждения стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,77. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Вероятность того, что стекло не разобьётся, является вероятностью события, противоположного событию «стекло разобьётся».$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}77 = 0{,}23$$

Перегорание двух ламп

Помещение освещается двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

1. 1
   События перегорания первой и второй лампы считаем независимыми.$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
2. 2
   Вероятность того, что перегорят обе лампы, равна произведению вероятностей перегорания каждой лампы.$$P = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$$