Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Расстояние по числу шагов

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 70$…

1. 1
   По формуле $s = nl$ найдём расстояние в сантиметрах.$$s = 1900 \cdot 70 = 133000\ \text{см}$$
2. 2
   Переведём сантиметры в метры: разделим на 100.$$133000 : 100 = 1330\ \text{м}$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 7, 14 и 28.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{7 \cdot 14 \cdot 28}$$
2. 2
   Вычислим произведение:$$7 \cdot 14 \cdot 28 = 2744$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 16…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{16+25+39}{2} = 40$$
2. 2
   Подставим стороны и полупериметр в формулу Герона:$$S = \sqrt{40(40-16)(40-25)(40-39)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы $P = I^2R$:$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$R = \dfrac{283{,}5}{4{,}5^2} = \dfrac{283{,}5}{20{,}25} = 14$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 9…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{9+12+15}{2} = 18$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим значения сторон и синуса угла в формулу:$$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 \cdot \frac{1}{5}$$
2. 2
   Сократим и вычислим выражение:$$S = 8 \cdot 3 = 24$$

Перевод температуры по шкалам

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, а $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим значение температуры по шкале Цельсия в формулу.$$t_F = 1{,}8 \cdot (-8) + 32$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$t_F = -14{,}4 + 32 = 17{,}6$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a = 17$…

1. 1
   Подставим данные значения в формулу:$$r = \dfrac{17+144-145}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2:$$r = \dfrac{16}{2} = 8$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 12, 72.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{2 \cdot 12 \cdot 72}$$
2. 2
   Вычислим произведение под корнем.$$2 \cdot 12 \cdot 72 = 1728$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Вычислим сумму и произведение данных сторон:$$a+b=4+16=20,\qquad ab=4\cdot16=64$$
2. 2
   Найдём выражение под корнем:$$(a+b)^2-c^2=20^2-(5\sqrt{7})^2=400-175=225$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в формулу работы постоянного тока.$$A = \dfrac{7^2 \cdot 8}{4}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = \dfrac{49 \cdot 8}{4} = 98$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса.$$r = \dfrac{60 + 221 - 229}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2.$$r = \dfrac{52}{2} = 26$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 7$…

1. 1
   Подставим значения $a = 7$, $b = 11$ и $c = 12$ в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2 = 98 + 242 - 144 = 196$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если…

1. 1
   Подставим данные в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{7})^2 - 4^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$2 \cdot 3 + 2 \cdot 7 - 16 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 3, 9 и 27.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{3 \cdot 9 \cdot 27}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{729} = 9$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу энергии конденсатора.$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 20^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 400}{2} = 0.02$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Подставим значения в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{\frac{1}{8}}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и их среднее арифметическое:$$h = \left(\dfrac{3 + 4 + 8}{3}\right)^{-1} = 5^{-1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$12{,}8 = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 16 \cdot \dfrac{2}{5}$$
2. 2
   Упростим правую часть равенства.$$12{,}8 = 3{,}2d_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт количества теплоты

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $c$ — удельная теплоёмкость (в…

1. 1
   Находим изменение температуры тела:$$t_2 - t_1 = 409 - 405 = 4\ \text{К}$$
2. 2
   Подставляем известные значения в формулу количества теплоты:$$Q = cm(t_2 - t_1) = 450 \cdot 4 \cdot 4 = 7200\ \text{Дж}$$

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{7^3}{7^5 \cdot 7^{-4}}$.

1. 1
   Преобразуем произведение степеней в знаменателе:$$7^5 \cdot 7^{-4} = 7^{5+(-4)} = 7$$
2. 2
   Вычисляем значение выражения:$$\dfrac{7^3}{7} = 7^2 = 49$$