Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{9+18}\sqrt{9\cdot18\left((9+18)^2-21^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$9\cdot18\left(27^2-21^2\right)=162\cdot288=46656$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Кинетическая энергия тела

Кинетическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите…

1. 1
   Подставим в формулу $E = \dfrac{mv^2}{2}$ значения $m = 16$ и $v = 3$.$$E = \dfrac{16 \cdot 3^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{16 \cdot 9}{2} = 72$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия $W$ (в Дж) заряженного конденсатора вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим данные в формулу энергии заряженного конденсатора.$$W = \dfrac{2 \cdot 10^{-4} \cdot 17^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = 10^{-4} \cdot 289 = 0{,}0289$$

Расчёт мощности тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 14$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $I = 4$ и $R = 14$:$$P = 4^2 \cdot 14$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$P = 16 \cdot 14 = 224$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c=\dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Подставим данные в формулу длины биссектрисы.$$l_c=\dfrac{1}{6+12}\sqrt{6\cdot12\left((6+12)^2-(9\sqrt{2})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$(9\sqrt{2})^2=162,\quad 6+12=18,\quad 6\cdot12\left(18^2-162\right)=72\cdot162=11664$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 15, 45.

1. 1
   Подставим числа 5, 15 и 45 в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{5 \cdot 15 \cdot 45}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{10125} = 15$$

Стоимость колодца из колец

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим количество колец $n = 20$ в формулу стоимости.$$C = 6000 + 4100 \cdot 20$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$C = 6000 + 82000 = 88000$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a=23$…

1. 1
   Подставим значения катетов и гипотенузы в формулу:$$r = \dfrac{23+264-265}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$r = \dfrac{22}{2} = 11$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$3 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 14 \cdot \frac{3}{14}$$
2. 2
   Сократим множители и решим уравнение:$$3 = \frac{3}{2}d_1, \quad d_1 = 2$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r = \dfrac{69 + 260 - 269}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2:$$r = \dfrac{60}{2} = 30$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Найдём обратные величины чисел $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{10}$ и $\dfrac{1}{17}$:$$\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3,\quad \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10,\quad \frac{1}{\frac{1}{17}} = 17$$
2. 2
   Вычислим среднее арифметическое обратных величин:$$\frac{3 + 10 + 17}{3} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт работы тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = I^2Rt$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$…

1. 1
   Используем формулу работы постоянного тока и подставляем известные значения.$$A = I^2Rt = 5^2 \cdot 10 \cdot 3$$
2. 2
   Вычисляем значение выражения.$$A = 25 \cdot 10 \cdot 3 = 750$$

Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 6\pi$.

1. 1
   Подставим значение суммы углов в формулу:$$(n - 2)\pi = 6\pi$$
2. 2
   Сократим обе части уравнения на $\pi$ и найдём $n$:$$n - 2 = 6,\quad n = 8$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a=52$…

1. 1
   Подставим значения $a=52$, $b=165$ и $c=173$ в формулу радиуса.$$r = \dfrac{52+165-173}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$r = \dfrac{44}{2}=22$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{5}$…

1. 1
   Находим обратные величины заданных чисел:$$\frac{1}{\frac{1}{5}} = 5,\quad \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9,\quad \frac{1}{1} = 1$$
2. 2
   Подставляем их в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\frac{5 + 9 + 1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{15}{3}\right)^{-1} = 5^{-1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу.$$6 = \dfrac{20 + 21 - c}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на 2 и выразим гипотенузу.$$12 = 41 - c, \quad c = 41 - 12 = 29$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 5, 100.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot 100}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня:$$2 \cdot 5 \cdot 100 = 1000$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Растяжение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Выразим абсолютное растяжение пружины из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{66}{6} = 11$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 105$…

1. 1
   Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = \dfrac{105}{6 \cdot 2{,}5} = \dfrac{105}{15} = 7$$

Потенциальная энергия тела

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи её поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в…

1. 1
   Выразим массу из формулы $E = mgh$:$$m = \dfrac{E}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$m = \dfrac{98}{9{,}8 \cdot 2} = \dfrac{98}{19{,}6} = 5$$