01ЕНТ 2024s1608№ 8Повышенная Радиус конуса увеличили в три раза. Во сколько раз увеличился объем конуса?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, $h$ — высота.
- 2
Если радиус увеличивается в 3 раза, то новый радиус $r'=3r$. Высота не изменяется, поэтому $h'=h$.
Ещё 2 шага — в полном решении
02ЕНТ 2025mathematics08№ 8Повышенная Calculate the volume of the cylinder, shown on the picture. (The picture shows a cylinder. A diagonal line from the top edge to the bottom base makes a $ 60^\circ $ angle with the bottom base. The…
- 1
Find the radius of the cylinder base using the right triangle formed by the height, radius, and diagonal. The diagonal makes a 60° angle with the base, so tan(60°) = opposite/adjacent = height / radius. Given height = 12, tan(60°) = √3…$$r = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$
- 2
Compute the volume of the cylinder using V = πr²h. Substitute r = 4√3 and h = 12: V = π × (4√3)² × 12 = π × (16 × 3) × 12 = π × 48 × 12 = 576π.$$V = \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 12 = \pi \cdot 48 \cdot 12 = 576\pi$$
03ЕНТ 202204bmatematik10№ 10Повышенная Найдите высоту пирамиды, каждое боковое ребро которой равно 10 см и в основании квадрат со стороной $6\sqrt{2}$ см.
- 1
Найти диагональ основания квадрата со стороной $a = 6\sqrt{2}$ см: $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$ см.
- 2
Половина диагонали (расстояние от центра основания O до вершины основания): $\frac{d}{2} = 6$ см.
Ещё 2 шага — в полном решении
04ЕНТ 2023i10№ 10Повышенная Осевое сечение цилиндра — квадрат. Радиус основания цилиндра равен 6 см. Найдите объем цилиндра.
- 1
Осевое сечение цилиндра — квадрат, значит высота цилиндра равна диаметру основания. Радиус равен 6 см, поэтому диаметр равен $2 \cdot 6 = 12$ см. Следовательно, высота цилиндра $h = 12$ см.$$h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$$
- 2
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставляем $r = 6$ см и $h = 12$ см.$$V = \pi \cdot 6^2 \cdot 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
05ЕНТ 2022273mathemati12№ 12Повышенная В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 дм, а высота равна 6 дм. Найдите апофему (боковую высоту) пирамиды.
- 1
Апофема — это высота бокового треугольника, проведенная из вершины пирамиды к середине стороны основания.
- 2
Основание — квадрат со стороной 5 дм, поэтому расстояние от центра основания до стороны (апотема основания) равно половине стороны: $\frac{5}{2}=2.5$ дм.
Ещё 2 шага — в полном решении
06ЕНТ 2024s1615№ 15Повышенная Образующая конуса равна 2 и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь основания конуса.
07ЕНТ 2025mathematics15№ 15Повышенная Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $6\sqrt{2}$ см. Найдите площадь четырехугольника $A_1KCD_1$ с $|CK| = 2 \cdot |BK|$
08ЕНТ 2025mathematics18№ 18Повышенная Площадь прямоугольника равна 16. Какие значения сторон обеспечат минимальный периметр прямоугольника?
- 1
Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Тогда площадь: $xy = 16$, периметр: $P = 2(x + y)$. Для минимизации $P$ при фиксированной площади нужно минимизировать $x + y$.
- 2
Из условия $xy = 16$ получаем $y = \frac{16}{x}$. Тогда $x + y = x + \frac{16}{x}$. Найдём минимум функции $f(x) = x + \frac{16}{x}$ для $x > 0$.
Ещё 2 шага — в полном решении
09ЕНТ 202204bmatematik20№ 20Повышенная В основании треугольной пирамиды лежит треугольник АВС, АВ=ВС=10 см, АС=12 см. Высота пирамиды равна 5 см. Объём пирамиды равен
- 1
Найти площадь основания — треугольника ABC с равными сторонами AB=BC=10 см и основанием AC=12 см.$$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h_{\triangle}$$
- 2
Высота треугольника ABC к стороне AC найдётся по теореме Пифагора: $h_{\triangle}=\sqrt{10^2-(12/2)^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ см.$$h_{\triangle}=8\ \text{см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
10ЕНТ 20231c5matematik21№ 21Повышенная 21. Площадь дороги равна
11ЕНТ 20231c5matematik22№ 22Повышенная 22. Общая площадь огорода и дороги равна
12ЕНТ 20231c5matematik23№ 23Повышенная 23. Площадь огорода, засаженная овощами, равна
13ЕНТ 20231c5matematik24№ 24Повышенная В целях расширения огорода все его размеры увеличили в два раза. Найдите площадь нового огорода вместе с дорогой.
14ЕНТ 2025mathematics27№ 27Повышенная Найдите боковое ребро пирамиды.
15ЕНТ 2024s1628№ 28Повышенная На сколько увеличится боковая поверхность колпака, если высоту и радиус основания увеличить на 3 см?
16ЕНТ 2025mathematics28№ 28Повышенная Найдите объем коробки.
17ЕНТ 2024s1629№ 29Повышенная Найдите сколько нужно ленты, чтобы обвить края всех колпаков блестящей лентой шириной 1 см? ($\pi \approx 3$)
18ЕНТ 2025mathematics29№ 29Повышенная Найдите апофему.
19ЕНТ 2023i30№ 30Повышенная Даны координаты точек: A(1;-1;-4), B(-3;-1;0), C(-1;2;5), D(2;-3; 1). Найдите косинус угла векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$
20ЕНТ 2024s1630№ 30Повышенная Если стакан и праздничный колпак имеют одинаковые объемы, то сколько бы поместилось сока в стакан? ($\pi \approx 3$)