Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в м/с$^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в с$^{-1}$), а $R$ — радиус окружности (в…

1. 1
   Подставим в формулу значения $\omega = 12$ и $R = 2{,}5$.$$a = 12^2 \cdot 2{,}5$$
2. 2
   Вычислим квадрат угловой скорости и умножим на радиус.$$a = 144 \cdot 2{,}5 = 360$$

Масса тела по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в м/$\mathrm{с}^2$), с которым движется тело…

1. 1
   Выразим массу из формулы второго закона Ньютона.$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим данные задачи и выполним деление.$$m = \dfrac{259}{37} = 7$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $3$, $3\sqrt{2}$ и $9$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{3^2 + (3\sqrt{2})^2 + 9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и их среднее:$$q = \sqrt{\dfrac{9 + 18 + 81}{3}} = \sqrt{36}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 20$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot 20 + 32$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение:$$t_F = 36 + 32 = 68$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади.$$d_2 = \frac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$d_2 = \frac{2 \cdot 56{,}25}{9 \cdot \frac{5}{8}} = \frac{112{,}5}{\frac{45}{8}} = 20$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если $a = 7$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a = 7$, $b = 24$ и $r = 3$.$$3 = \dfrac{7+24-c}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $2$ и выразим $c$.$$6 = 31-c,\quad c = 31-6 = 25$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$27 = \frac{1}{2}d_1 \cdot 18 \cdot \frac{1}{3}$$
2. 2
   Упростим правую часть равенства.$$27 = 3d_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия $W$ (в Дж) заряженного конденсатора вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу энергии конденсатора.$$W = \dfrac{2 \cdot 10^{-4} \cdot 13^2}{2}$$
2. 2
   Сократим множитель 2 и вычислим квадрат напряжения.$$W = 10^{-4} \cdot 169 = 0{,}0169$$

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим значения ускорения свободного падения и высоты в формулу скорости:$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 2{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень:$$v = \sqrt{49} = 7$$

Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 9\pi$.

1. 1
   Подставим значение $\Sigma = 9\pi$ в формулу суммы углов:$$(n - 2)\pi = 9\pi$$
2. 2
   Сократим обе части уравнения на $\pi$ и найдём $n$:$$n - 2 = 9,\quad n = 11$$

Стоимость колодца по формуле

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   В формуле стоимости подставим число колец $n = 4$.$$C = 6000 + 4100 \cdot 4$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$C = 6000 + 16400 = 22400$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$3{,}75 = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot d_2 \cdot \dfrac{1}{12}$$
2. 2
   Упростим правую часть равенства.$$3{,}75 = \dfrac{d_2}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Растяжение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Выразим абсолютное растяжение $x$ из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{56}{4} = 14$$

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 48$…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу мощности постоянного тока.$$P = I^2R = (1{,}5)^2 \cdot 48$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 2{,}25 \cdot 48 = 108$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим сторону $b$ из формулы площади треугольника.$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{65}{6} \cdot 66}{13 \cdot 20} = 11$$

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 9…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{9+10+17}{2} = 18$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Закон Гука и растяжение

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Выразим абсолютное растяжение пружины из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{72}{4} = 18$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 15} = \dfrac{6}{30} = 0.2$$

Масса тела по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила, действующая на тело, $m$ — его масса, а $a$ — ускорение тела. Найдите массу $m$ в килограммах, если $F = 123$ Н и $a = 41$ м/с$^2$.

1. 1
   Из формулы $F = ma$ выразим массу тела:$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения:$$m = \dfrac{123}{41} = 3$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{1/3} + \frac{1}{1/6} + \frac{1}{1}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и среднее арифметическое:$$h = \left(\dfrac{3 + 6 + 1}{3}\right)^{-1} = \left(\dfrac{10}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{10}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении