Задание 11 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Переливание воды в цилиндр

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза меньше…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется.$$V_1 = V_2$$
2. 2
   Радиус второго сосуда в полтора раза меньше радиуса первого.$$r_2 = \dfrac{2}{3}r_1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Рёбра усечённого куба

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   После отпиливания каждой вершины центральная часть каждого исходного ребра куба остаётся одним ребром. Поэтому сохраняется $12$ рёбер.$$12$$
2. 2
   У куба $8$ вершин. При отпиливании каждой вершины образуется треугольная грань с тремя рёбрами. Эти рёбра являются новыми.$$8 \cdot 3 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $2\sqrt{11}$.

1. 1
   В правильной четырёхугольной пирамиде высота проходит через центр квадратного основания. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту пирамиды:$$h=\sqrt{(2\sqrt{11})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{44-8}=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 60 см, а площадь его основания равна 150 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h$$
2. 2
   Вычислим объём в кубических сантиметрах:$$V = 150 \cdot 60 = 9000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара и диаметр

Однородный шар диаметром 2 см весит 16 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра. Диаметр увеличился в $\frac{4}{2}=2$ раза:$$\frac{V_2}{V_1}=2^3=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 3$, $AC = 18$ и $AD = 7$.

1. 1
   Три ребра, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные длины рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 18 \cdot 7 = 63$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 70 см × 20 см × 60 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.$$V = abc$$
2. 2
   Вычислим объём аквариума в кубических сантиметрах.$$V = 70 \cdot 20 \cdot 60 = 84000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы квадратных призм

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая в два раза шире первой. Во сколько раз объём первой…

1. 1
   Объём правильной четырёхугольной призмы равен произведению площади квадратного основания на высоту: $V=a^2h$.$$V=a^2h$$
2. 2
   Пусть сторона основания и высота второй коробки равны $a$ и $h$. Тогда для первой коробки сторона основания равна $\dfrac{a}{2}$, а высота — $\dfrac{2h}{3}$.$$V_1=\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\frac{2h}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении