Информатика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Кодовое слово для буквы А не может начинаться с $0$, так как код $0$ уже используется для буквы Я и будет началом нового слова.

Одноразрядное слово $1$ не подходит: оно будет началом кодовых слов $101$ и $110$. Двухразрядные слова, начинающиеся с $1$, также не подходят: $10$ является началом слова $101$, а $11$ — началом слова $110$.

Рассмотрим дерево двоичных кодов. Кодовые слова 010 и 011 занимают обе ветви после префикса 01, поэтому в ветви 00 для сохранения условия Фано можно разместить два слова 000 и 001.$$l(000)=3,\quad l(001)=3$$

Кодовые слова 1000 и 1001 занимают обе ветви после префикса 100. В другой ветви после 10 можно разместить слово 101, не являющееся началом других кодов.$$l(101)=3$$

Кодовое слово для буквы Т не может быть короче четырёх символов: все возможные слова длины 1–3 либо уже заняты, либо являются началом одного из заданных кодовых слов.

В ветви 10 код 100 уже занят, а код 1010 занят кодом буквы Р. Единственная свободная четырёхзначная ветвь рядом с ним — 1011.

Построим двоичное дерево кодовых слов. Слова 00 и 01 полностью занимают ветви, начинающиеся с 0.

В ветви, начинающейся с 1, кодовые слова 1000, 1001 и 101 занимают соответствующие свободные участки. Кодовое слово 110 занимает одну из ветвей после 11.

В слове КАРАВАН буква А встречается три раза, а буквы К, Р, В и Н — по одному разу. Поэтому наиболее короткое доступное кодовое слово выгодно назначить букве А.

С учётом условия Фано и известных кодов Р = 1 и К = 0000 можно, например, построить кодовые слова: А = 01, В = 001, Н = 00010, Д = 00011, К = 0000, Р = 1. Ни одно кодовое слово не является началом другого.

Проверим ветви двоичного дерева кодов. Ветви 00, 010, 011, 1000, 1001, 1100, 1101, 1110 и 1111 уже заняты.

Кодовое слово, начинающееся с 00, 010, 011, 1000, 1001, 1100, 1101, 1110 или 1111, нарушит условие Фано. Свободная ветвь начинается с 101.

В слове КАНАВКА буква А встречается 3 раза, К — 2 раза, В и Н — по 1 разу.

Кодовые слова О — 101 и К — 110 имеют длину 3. Чтобы минимизировать общую длину, наиболее часто встречающейся букве А можно назначить код 0.

В слове КАНТАТА буква К встречается 1 раз, Н — 1 раз, А — 3 раза, Т — 2 раза.

Кодовое слово $К=1$ означает, что кодовые слова остальных букв должны начинаться с $0$. С учётом слова $Н=001$ минимальный набор длин для трёх неизвестных кодов можно выбрать как $2$, $4$, $4$: например, $З=01$, $А=0000$, $Т=0001$.

Кодовое слово для буквы A не должно быть началом ни одного из заданных кодовых слов.

Однозначные коды длины 1 невозможны: 0 является началом слов 000, 0010, 0011, 0100 и 0101, а 1 является началом слов 100 и 101.

Код С = 0 означает, что кодовые слова остальных букв должны начинаться с 1. Код К = 1011 фиксирует одну из ветвей дерева.

Чтобы минимизировать длину слова КОСОГОР, код буквы О, встречающейся три раза, нужно сделать как можно короче. Выбираем О = 11.

В слове КОЛОБОК буква О встречается 3 раза, К — 2 раза, Л и Б — по 1 разу.

С учётом уже заданных кодов $00$, $010$ и $111$ минимальные подходящие кодовые слова для К и О можно выбрать как $011$ и $10$. Более короткое слово выгодно назначить букве О, которая встречается чаще.

В слове БАРАБАН буква А встречается 3 раза, Б — 2 раза, Р — 1 раз, Н — 1 раз.

Для минимизации длины сообщения короткое кодовое слово назначается наиболее частой букве А, а остальные кодовые слова выбираются с учётом условия Фано.

Проверим кодовые слова по префиксам. Код 0 невозможен, так как он является началом слова 00, а код 1 — началом слов 100, 1010, 1011, 1101, 1110 и 1111.

Коды длины 2 и 3 также невозможны: их продолжения уже используются существующими кодовыми словами. Например, ветви 010, 011, 100, 101, 110 и 111 заняты или содержат заданные слова.

В слове КОЛОКОЛ буква О встречается 3 раза, а буквы К и Л — по 2 раза. Код буквы К уже задан и имеет длину 2: $К = 11$.

Подберём кратчайшие возможные кодовые слова для остальных букв так, чтобы ни одно слово не было началом другого. Например: $О = 0$, $Л = 101$, $Н = 1000$. Вместе с заданными кодами $Б = 1001$ и $К = 11$ условие Фано выполняется.

Одноразрядные слова 0 и 1 не подходят: 0 уже используется, а 1 является началом кодовых слов 101 и 110.

Двухразрядные слова, начинающиеся с 0, также не подходят, поскольку кодовое слово 0 является их началом. Слово 10 является началом слова 101, а слово 11 является началом слова 110.

Кодовое слово 0 является началом любого слова, начинающегося с 0, поэтому дополнительные кодовые слова не могут начинаться с 0.

В ветви 1 уже используются слова 11, 1000 и 1011. Чтобы не нарушить условие Фано, новые слова должны быть свободными листьями двоичного дерева.

Кодовое слово $1$ запрещает использовать любые новые слова, начинающиеся с $1$, поскольку оно стало бы началом этих слов.$$w_{Д}, w_{Е} \text{ начинаются с } 0$$

Слово $00$ занимает всю ветвь $00$, поэтому новые кодовые слова не могут начинаться с $00$.

По условию Фано ни одно кодовое слово не должно быть началом другого.

Кодовые слова длины 1 не подходят, поскольку 0 и 1 являются началами существующих слов.

Рассмотрим двоичное дерево кодов. Код 00 уже занят, поэтому все слова, начинающиеся с 00, использовать нельзя. Аналогично ветвь 01 занята словами 010 и 011.

В свободной ветви 10 можно разместить два кодовых слова одинаковой длины: 100 и 101.$$l(100) + l(101) = 3 + 3$$

Кодовое слово 0 занимает всю ветвь, начинающуюся с 0. Кодовое слово 10 занимает ветвь, начинающуюся с 10.

Все остальные кодовые слова должны располагаться в ветви 11, чтобы ни одно из них не начиналось с уже использованных слов и не являлось началом другого слова.