Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по информатике: «Информация и кодирование» — с ответами

В слове КАНАДКА буква А встречается 3 раза, К — 2 раза, Н и Д — по 1 разу.$$n(А)=3,\quad n(К)=2,\quad n(Н)=1,\quad n(Д)=1$$

С учётом уже заданных кодовых слов Н = 011 и Р = 0101 подбираем кодовые слова для остальных букв так, чтобы условие Фано выполнялось и общее число знаков было минимальным. Оптимальные длины для букв А, К и Д составляют 1, 2 и 4 знака…

Кодовое слово для буквы Л не должно быть началом ни одного существующего кодового слова, а существующие слова не должны начинаться с него.

Все двоичные слова длины 2 уже заняты или являются началами существующих слов: $00$, $01$, $10$ и $11$.

Проверяем возможность последовательного разбиения сообщения на коды из таблицы. Каждый фрагмент должен совпадать с одним из кодов букв.

Третье сообщение полностью разбивается на допустимые коды:$$110100001001100111=11\mid01\mid000\mid01\mid001\mid10\mid01\mid11$$

Кодовое слово не может начинаться с 0, поскольку 0 уже является кодовым словом. Поэтому оно должно начинаться с 1.

Начало 10 занято кодовым словом чёрного цвета, а начало 110 — кодовым словом красного цвета. Начало 111 также нельзя использовать целиком, поскольку оно является началом кодовых слов 11110 и 11111.

Проверим кодовые слова длины 1 и 2. Они не подходят: их расширения уже используются в таблице, поэтому они были бы началами других кодовых слов.

Рассмотрим трёхбитные слова. Слово 100 не является началом ни одного заданного кодового слова и не содержит заданного кодового слова как начало.

Кодовые слова длины 1 невозможны: и $0$, и $1$ являются началами уже имеющихся кодовых слов.

Коды длины 2 также невозможны: $00$ уже занято, а $01$, $10$ и $11$ являются началами существующих кодовых слов.

Проверим свободные ветви дерева кодов. Кодовые слова 00, 10, 010, 110, 0110 и 111 уже заняты, поэтому новое слово не может начинаться с одного из них и не может быть началом другого кодового слова.

После слова 0110 остаётся свободная ветвь 0111. Одно кодовое слово можно было бы взять равным 0111, но тогда второго слова в этой ветви разместить нельзя: слово 0111 стало бы его началом.

Рассмотрим двоичное дерево кодов. Ветвь $01$ уже занята кодовыми словами $0100$, $0101$ и $011$, ветви $11$ — словами $110$ и $111$, а слово $101$ занимает соответствующую ветвь.

Для одной из оставшихся букв можно выбрать кодовое слово $00$: оно не является началом ни одного известного слова.

Проверим возможные кодовые слова длины 2. Слова 00 и 01 являются началами кодовых слов 001, 010 и 0111, поэтому использовать их нельзя.

Слова 10 и 11 не являются началами заданных кодовых слов и не имеют общих начал с ними. Их можно назначить буквам Г и Д.

Кодовое слово для буквы Г не может начинаться с 0, поскольку код 0 уже задан и не должен быть началом другого кодового слова.

Код длины 1, равный 1, не подходит: он является началом кодовых слов 1110 и 1010.

Проверим кодовые слова длины 1 и 2. Они невозможны, поскольку $0$ и $1$ являются началами существующих слов, а все двухразрядные комбинации либо заняты, либо являются началами уже заданных кодовых слов.

Слова длины 3 также невозможны: варианты, начинающиеся с $00$, $010$, $011$, $100$, $101$, $110$ и $111$, конфликтуют с уже заданными кодовыми словами.

Кодовое слово 1 занимает всю ветвь, начинающуюся с 1. Кодовое слово 01 занимает ветвь 01, поэтому оставшиеся слова могут размещаться только в ветви 00.

Для четырёх букв в ветви 00 требуется четыре различных кодовых слова, не являющихся началами друг друга. Минимальный вариант — использовать все четыре продолжения длины 2: 0000, 0001, 0010 и 0011.

Код 0 уже занят буквой В, поэтому кодовое слово для Г не может начинаться с 0.

Коды 10 и 11 длины 2 не подходят: 10 является началом кода 1010, а 11 — началом кода 1100.

Проверим кодовые слова длины 1. Код $0$ является началом кодов $00$, $010$ и $011$, а код $1$ является началом кодов $1000$, $1001$, $1010$, $1011$, $1110$ и $1111$. Поэтому слова длины 1 невозможны.

Кодовые слова длины 2 также невозможны: $00$ уже занято, $01$ является началом кодов $010$ и $011$, $10$ является началом кодов $1000$, $1001$, $1010$ и $1011$, а $11$ является началом кодов $1110$ и $1111$.

Слова 00 и 01 занимают обе ветви, начинающиеся с 0. Поэтому новые кодовые слова не могут начинаться с 0.

Слово 10 нельзя использовать, так как оно является началом слов 1000 и 1001. Слово 1 также нельзя использовать по той же причине.

Кодовое слово для буквы А не может начинаться с $0$, так как код $0$ уже используется для буквы Я и будет началом нового слова.

Одноразрядное слово $1$ не подходит: оно будет началом кодовых слов $101$ и $110$. Двухразрядные слова, начинающиеся с $1$, также не подходят: $10$ является началом слова $101$, а $11$ — началом слова $110$.

Рассмотрим дерево двоичных кодов. Кодовые слова 010 и 011 занимают обе ветви после префикса 01, поэтому в ветви 00 для сохранения условия Фано можно разместить два слова 000 и 001.$$l(000)=3,\quad l(001)=3$$

Кодовые слова 1000 и 1001 занимают обе ветви после префикса 100. В другой ветви после 10 можно разместить слово 101, не являющееся началом других кодов.$$l(101)=3$$

Кодовое слово для буквы Т не может быть короче четырёх символов: все возможные слова длины 1–3 либо уже заняты, либо являются началом одного из заданных кодовых слов.

В ветви 10 код 100 уже занят, а код 1010 занят кодом буквы Р. Единственная свободная четырёхзначная ветвь рядом с ним — 1011.

Построим двоичное дерево кодовых слов. Слова 00 и 01 полностью занимают ветви, начинающиеся с 0.

В ветви, начинающейся с 1, кодовые слова 1000, 1001 и 101 занимают соответствующие свободные участки. Кодовое слово 110 занимает одну из ветвей после 11.

В слове КАРАВАН буква А встречается три раза, а буквы К, Р, В и Н — по одному разу. Поэтому наиболее короткое доступное кодовое слово выгодно назначить букве А.

С учётом условия Фано и известных кодов Р = 1 и К = 0000 можно, например, построить кодовые слова: А = 01, В = 001, Н = 00010, Д = 00011, К = 0000, Р = 1. Ни одно кодовое слово не является началом другого.