Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. Первый ход делает Петя. За один ход можно убрать 3 или 5 камней либо уменьшить количество камней в 4 раза, округлив результат вниз. Игра…
- 1
Петя не должен иметь возможности закончить игру первым ходом. Поэтому после любого его хода количество камней должно быть больше 10.$$S-3>10,\quad S-5>10,\quad \left\lfloor\frac{S}{4}\right\rfloor>10$$
- 2
Первые два неравенства дают $S>13$ и $S>15$. Условие с делением выполняется при $S\ge 44$, так как при $S=43$ результат деления равен $10$, а при $S=44$ — $11$.$$\left\lfloor\frac{43}{4}\right\rfloor=10,\quad \left\lfloor\frac{44}{4}\right\rfloor=11$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в одной куче в два раза. Первый ход делает…
- 1
Чтобы Ваня выиграл своим первым ходом, после хода Пети должна существовать возможность одним действием получить не менее 231 камня. Минимальное значение $S$ получается, если Петя неудачно удваивает вторую кучу.$$17 + S \xrightarrow{\text{Петя}} 17 + 2S$$
- 2
Ваня удваивает вторую кучу ещё раз. После этого общее количество камней равно:$$17 + 4S$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Два игрока по очереди изменяют две кучи камней. За один ход можно добавить в одну кучу один камень или увеличить количество камней в одной куче в два раза. Игра заканчивается, когда сумма камней в…
- 1
Рассмотрим неудачный первый ход Пети: он удваивает вторую кучу. Позиция становится $(13, 2S)$.
- 2
Ваня может своим первым ходом снова удвоить вторую кучу. После этого суммарное количество камней будет равно:$$13 + 4S$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 4 камня или…
- 1
Петя может первым ходом увеличить вторую кучу в 3 раза. После этого получится позиция $(11, 3S)$.
- 2
Ваня может своим первым ходом снова увеличить вторую кучу в 3 раза. Тогда суммарное количество камней станет равным:$$11 + 9S$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня…
- 1
Чтобы Петя не выиграл первым ходом, после каждого возможного хода число камней должно быть меньше 55. В частности, для позиции $S=18$ это так: $18+1=19$, $18+4=22$, $18\cdot3=54$.
- 2
Проверим ответы Вани после каждого хода Пети. Из позиции $19$ Ваня умножает количество камней на $3$: $19\cdot3=57$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить…
- 1
Чтобы Петя не выиграл первым ходом, после его удвоения количество камней должно быть меньше 145:$$2S < 145$$
- 2
Если Петя добавит один камень, Ваня должен суметь выиграть удвоением:$$2(S+1) \geq 145$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в 3 раза. Первый ход делает Петя. Игра завершается…
- 1
Петя не должен иметь возможности закончить игру первым ходом. При $S=24$ после любого его хода количество камней остаётся меньше 73.$$24+1=25<73,\quad 24+4=28<73,\quad 24\cdot 3=72<73$$
- 2
Если Петя добавляет 1 камень, Ваня умножает количество камней на 3 и получает не менее 73.$$25\cdot 3=75\geq 73$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока по очереди изменяют количество камней в куче. За один ход игрок может добавить один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра заканчивается, когда в куче становится…
- 1
Игрок может выиграть одним ходом из позиции $x$, если после добавления одного камня или удвоения количества камней получится не менее 69 камней.$$x+1 \geq 69 \quad \text{или} \quad 2x \geq 69$$
- 2
Минимальное целое значение $x$, из которого можно выиграть одним ходом, равно 35: при $x=35$ удвоение даёт 70 камней.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч по своему…
- 1
Чтобы Ваня выиграл своим первым ходом, после хода Пети сумма камней должна оставаться меньше 255, но одно действие Вани должно увеличить её как минимум до 255.
- 2
Петя может удвоить вторую кучу. Тогда в кучах будет $17$ и $2S$ камней. Ваня также удваивает вторую кучу, поэтому итоговое количество камней равно:$$17 + 4S$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень…
- 1
Чтобы Ваня выиграл своим первым ходом, после хода Пети должна существовать куча, удвоение которой приведёт к сумме не менее 107.$$13 + 4S \geq 107$$
- 2
Наименьшее значение $S$ определяется из неравенства:$$4S \geq 94,\quad S \geq 23{,}5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 3 камня, убрать из кучи 5…
- 1
Петя не должен выигрывать своим первым ходом, поэтому после каждого его хода количество камней должно оставаться больше 30. Для $S=124$ возможны позиции $121$, $119$ и $31$.$$124-3=121,\quad 124-5=119,\quad \left\lfloor\dfrac{124}{4}\right\rfloor=31$$
- 2
Из каждой полученной позиции Ваня может сделать ход, после которого в куче будет не более 30 камней.$$121\to\left\lfloor\dfrac{121}{4}\right\rfloor=30,\quad 119\to\left\lfloor\dfrac{119}{4}\right\rfloor=29,\quad 31\to31-3=28$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход можно добавить 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в два раза. Игра заканчивается, когда в куче становится не менее 31…
- 1
Петя не может выиграть первым ходом, если после прибавления 1 или 4, а также после удвоения количество камней меньше 31. Для $S \le 15$ это условие выполняется.
- 2
Ваня может выиграть одним ходом из любой позиции с количеством камней не менее 16: достаточно удвоить количество камней, поскольку $2 \cdot 16 = 32 \ge 31$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 2 камня, убрать из кучи 4…
- 1
Петя выигрывает за один ход, если после одного из его ходов в куче останется не более 23 камней. Для деления на 4 это выполняется при $\lfloor S/4 \rfloor \le 23$, то есть при $S \le 95$. Поэтому минимальное значение, при котором Петя уже…$$\left\lfloor \frac{S}{4} \right\rfloor \le 23 \text{ при } S \le 95$$
- 2
Проверим значение $S=96$. После ходов Пети возможны кучи из $94$, $92$ и $24$ камней.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 3 камня, убрать из кучи 7…
- 1
После хода Пети количество камней должно оставаться больше 15, иначе Петя сразу выиграет.$$S-3>15,\quad S-7>15,\quad \left\lfloor S/4 \right\rfloor>15$$
- 2
Наиболее строгое условие задаёт деление на 4: результат должен быть не меньше 16.$$\left\lfloor S/4 \right\rfloor\ge 16 \Rightarrow S\ge 64$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в куче в 3 раза. Игра завершается, когда количество…
- 1
Чтобы Петя не смог выиграть за один ход, ни один из возможных результатов его хода не должен достигать 97.$$S+1<97,\quad S+4<97,\quad 3S<97$$
- 2
Наиболее сильное ограничение даёт неравенство $3S<97$, откуда $S\leq 32$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня…
- 1
Петя не должен иметь возможности выиграть первым ходом. Поэтому после любого его хода количество камней должно быть меньше 51: $S+1<51$, $S+4<51$ и $2S<51$. В частности, $S\leq 25$.
- 2
Чтобы Ваня мог выиграть своим первым ходом после любого хода Пети, каждая из позиций $S+1$, $S+4$ и $2S$ должна позволять сделать ход, после которого камней станет не менее 51.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Игра завершается, когда количество…
- 1
Петя не должен выигрывать первым ходом, поэтому после каждого его возможного хода количество камней должно быть меньше 435. В частности, при $S=217$ это выполняется: $218$, $220$ и $434$.
- 2
Чтобы Ваня мог выиграть одним ходом из позиции $x$, достаточно, чтобы $2x \geq 435$, либо чтобы $x+3 \geq 435$, либо чтобы $x+1 \geq 435$. Наименьшая подходящая позиция — $x=218$, так как $2 \cdot 218=436$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня…
- 1
Петя не должен получить не менее 58 камней после своего первого хода. Поэтому проверяем все возможные ходы:$$S+1<58,\quad S+4<58,\quad 3S<58$$
- 2
Наиболее сильное ограничение даёт умножение количества камней на три: $3S<58$, откуда $S\leq 19$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в куче в 3 раза. Игра завершается, когда количество…
- 1
Чтобы Петя не смог выиграть за один ход, ни один из возможных результатов его хода не должен быть не менее 82.$$S+1<82,\quad S+4<82,\quad 3S<82$$
- 2
Наиболее ограничивающим является условие $3S<82$, откуда $S\leq 27$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 4 камня или…
- 1
Из начальной позиции $(17, S)$ Петя может получить позиции $(21, S)$, $(17, S+4)$, $(34, S)$ или $(17, 2S)$.
- 2
Проверим, при каком минимальном $S$ после одного из этих ходов Ваня сможет сразу закончить игру. Наиболее выгодный вариант — Петя удваивает вторую кучу, после чего Ваня также удваивает её.$$17 + 2S \xrightarrow{\text{удвоение второй кучи}} 17 + 4S$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде