Решение: Выигрышная стратегия в игре
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 51. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой находится 51 камень или больше.
В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 \leq S \leq 50$.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Решение по шагам
4 шагаПетя не должен иметь возможности выиграть первым ходом. Поэтому после любого его хода количество камней должно быть меньше 51: $S+1<51$, $S+4<51$ и $2S<51$. В частности, $S\leq 25$.
Чтобы Ваня мог выиграть своим первым ходом после любого хода Пети, каждая из позиций $S+1$, $S+4$ и $2S$ должна позволять сделать ход, после которого камней станет не менее 51.
Если в куче уже не менее 26 камней, Ваня может удвоить их количество: $2\cdot 26=52\geq 51$. Поэтому необходимо, чтобы $S+1\geq 26$, то есть $S\geq 25$.
Совместно с условием $S\leq 25$ получаем единственное минимальное значение: $S=25$. После ходов Пети количество камней будет 26, 29 или 50, и Ваня сможет удвоением получить не менее 51 камня.
Где здесь ошибаются
Проверяют только один возможный ход Пети, хотя условие требует выигрыш Вани после любого хода.
Считают, что Ваня обязан использовать тот же тип хода, что и Петя.
Забывают, что удвоение 26 камней уже даёт 52 камня и завершает игру.