Решение: Игра с двумя кучами
Документ к заданиюИнструкция к заданиям
Прочитайте текст и выполните задания.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в одной куче в два раза. Первый ход делает Петя. Игра завершается, когда суммарное количество камней становится не менее 231; победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй — $S$ камней, где $1 \leq S \leq 213$. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Найдите минимальное значение $S$.
Решение по шагам
5 шаговЧтобы Ваня выиграл своим первым ходом, после хода Пети должна существовать возможность одним действием получить не менее 231 камня. Минимальное значение $S$ получается, если Петя неудачно удваивает вторую кучу.
$$17 + S \xrightarrow{\text{Петя}} 17 + 2S$$Ваня удваивает вторую кучу ещё раз. После этого общее количество камней равно:
$$17 + 4S$$Для победы Вани требуется:
$$17 + 4S \geq 231$$Решаем неравенство:
$$4S \geq 214,\quad S \geq 53{,}5$$Так как $S$ — целое число, минимально возможное значение равно 54. При $S=54$ после ходов Пети и Вани количество камней составит $17 + 4 \cdot 54 = 233$.
Где здесь ошибаются
Учитывают только один ход удвоения и записывают условие $17 + 2S \geq 231$.
Забывают, что Петя сначала должен сделать неудачный ход, после которого Ваня получает возможность немедленно выиграть.
Округляют значение $S \geq 53{,}5$ вниз.