Решение: Выигрыш первым ходом
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 4 камня или увеличить количество камней в одной из куч в 3 раза.
Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 154. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 154 камня или больше.
В начальный момент в первой куче 11 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 142$.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, при котором такая ситуация возможна.
Решение по шагам
5 шаговПетя может первым ходом увеличить вторую кучу в 3 раза. После этого получится позиция $(11, 3S)$.
Ваня может своим первым ходом снова увеличить вторую кучу в 3 раза. Тогда суммарное количество камней станет равным:
$$11 + 9S$$Чтобы Ваня выиграл этим ходом, должно выполняться неравенство:
$$11 + 9S \geq 154$$Решаем неравенство: $9S \geq 143$, поэтому $S \geq \dfrac{143}{9} \approx 15{,}89$. Минимальное целое значение $S$ равно 16.
При $S=16$ Петя утраивает вторую кучу: $(11,16) \to (11,48)$, после чего Ваня утраивает её снова: $(11,48) \to (11,144)$. Сумма равна $155$, поэтому Ваня выигрывает.
Где здесь ошибаются
Учитывают только один ход с утраиванием и получают условие $11+3S\geq154$.
Забывают, что Петя сначала делает ход, после которого Ваня может сразу завершить игру.
Округляют значение $143/9$ вниз вместо выбора минимального целого значения.