Решение: Игра с двумя кучами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 3 камня или увеличить количество камней в одной из куч в 3 раза.
Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (23, 30), (20, 33), (60, 30), (20, 90).
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 176. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 176 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 14 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 161$.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, при котором такая ситуация возможна.
Решение по шагам
5 шаговПосле первого хода Пети возможны четыре позиции: $(17,S)$, $(14,S+3)$, $(42,S)$ и $(14,3S)$.
Проверим вариант, при котором Петя утроил вторую кучу. После этого позиция имеет вид $(14,3S)$, а сумма камней равна $14+3S$, поэтому ход Пети не является завершающим при найденном значении $S$.
Ваня может утроить вторую кучу. Тогда сумма камней станет $14+9S$. Чтобы Ваня выиграл своим первым ходом, необходимо $14+9S\geq176$.
Решаем неравенство: $9S\geq162$, откуда $S\geq18$. При $S=18$ после хода Пети получаем $(14,54)$, а ход Вани даёт $(14,162)$, сумма равна $176$.
Для остальных ходов Пети минимальные значения $S$, при которых Ваня может сразу выиграть, не меньше: 53, 51 и 45 соответственно. Поэтому найденное значение является минимальным.
Где здесь ошибаются
Учитывают только увеличение суммы на 3 и не рассматривают утроение куч.
Путают ход Пети, после которого получается $(14,3S)$, с выигрышным ходом.
Не проверяют, что после хода Пети сумма ещё меньше 176.