Решение: Игра с двумя кучами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч по своему выбору один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 59 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 53.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.
Решение по шагам
3 шагаЧтобы найти минимальное значение $S$, рассмотрим ход Пети: он удваивает количество камней во второй куче. После этого в кучах находится 5 и $2S$ камней.
$$5 + 2S < 59$$Ваня может своим первым ходом снова удвоить вторую кучу. После этого суммарное количество камней станет равным $5 + 4S$.
$$5 + 4S \geq 59$$Решаем неравенство: $4S \geq 54$, поэтому $S \geq 13{,}5$. Минимальное целое значение $S$ равно 14. При $S=14$ после хода Пети получаются кучи 5 и 28, а после хода Вани — 5 и 56, то есть всего 61 камень.
$$S_{\min}=14$$Где здесь ошибаются
Забывают, что первый ход делает Петя.
Проверяют только добавление одного камня и не рассматривают последовательное удвоение второй кучи.
Допускают ход Пети, сразу завершающий игру.