Решение: Игра с двумя кучами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 107. Победителем считается игрок, сделавший последний ход.
В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй куче — $S$ камней, $1 \leq S \leq 93$.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.
Решение по шагам
3 шагаЧтобы Ваня выиграл своим первым ходом, после хода Пети должна существовать куча, удвоение которой приведёт к сумме не менее 107.
$$13 + 4S \geq 107$$Наименьшее значение $S$ определяется из неравенства:
$$4S \geq 94,\quad S \geq 23{,}5$$Так как $S$ — целое число, минимально возможное значение равно 24. При этом Петя удваивает вторую кучу: $(13, 24) \to (13, 48)$. Затем Ваня удваивает вторую кучу: $(13, 48) \to (13, 96)$, и суммарное количество камней становится $109$.
Где здесь ошибаются
Учитывают только количество камней во второй куче и забывают добавить 13 камней из первой кучи.
Используют неравенство $13 + 2S \geq 107$, не учитывая второй ход — удвоение кучи Ваней.
Округляют $23{,}5$ вниз, хотя $S$ должно быть целым и неравенство должно выполняться.