Решение: Выигрышная стратегия в игре
Текст к заданиюИнструкция к заданиям
Прочитайте текст и выполните задания.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 1 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Первый ход делает Петя. Игра завершается, когда количество камней становится не менее 443; победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, где $1 \leq S \leq 442$. Укажите такое значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но после любого хода Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Решение по шагам
4 шагаПетя не должен иметь возможности выиграть сразу. Поэтому после любого его хода количество камней должно оставаться меньше 443.
Рассмотрим значение $S = 221$. Возможные ходы Пети приводят к позициям:
$$221+1=222,\quad 221+3=224,\quad 221\cdot 2=442$$Из позиции 222 Ваня удваивает количество камней и получает 444. Из позиции 224 Ваня удваивает количество камней и получает 448. Из позиции 442 Ваня добавляет 1 камень и получает 443.
Сам Петя из позиции 221 не может выиграть одним ходом: после добавления 1 или 3 камней либо удвоения количество камней будет меньше 443.
Где здесь ошибаются
Проверяют только один возможный ход Пети, а не все три.
Забывают, что победа наступает при количестве камней не менее 443.
Считают, что из позиции 442 нужно обязательно удваивать количество камней.