Выигрышная стратегия в игре
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 2 камня, убрать из кучи 4 камня или уменьшить количество камней в куче в 4 раза; количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего. Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 16 или 5 камней.
Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 23. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 23 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 24$.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: – убрать из кучи 2 камня; – убрать из кучи 4 камня; – уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 16 или 5 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 23. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 23 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 24. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. | |||
| |
Формат: число или слово без единиц измерения; дробную часть отделяйте запятой.
1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Проверьте, при каких значениях $S$ Петя может сразу получить количество камней не более 23.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Ходы Пети дают значения $S-2$, $S-4$ и $\lfloor S/4 \rfloor$. Для значения $S=96$ после каждого хода рассмотрите ответный ход Вани.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $S=96$ Петя получает 94, 92 или 24. Ваня делением на 4 получает соответственно 23, 23 или 6 камней.