Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $46^\circ$ и $78^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 46^\circ - 78^\circ = 56^\circ$$

Больший катет по клеткам

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   На рисунке катеты лежат вдоль вертикальной и горизонтальной линий клетчатой бумаги.
2. 2
   Считаем количество клеток вдоль большего катета: получаем 7 единичных отрезков.$$7 \cdot 1 = 7$$

Больший катет треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   Катеты прямоугольного треугольника расположены по горизонтали и вертикали на клетчатой бумаге.
2. 2
   По горизонтали между вершинами большего катета — 10 клеток. Так как размер клетки равен $1 \times 1$, длина этого катета равна $10$.$$10 \cdot 1 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равностороннего треугольника

Медиана равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике медиана является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение медианы и найдём сторону треугольника.$$11\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $28^\circ$ и $93^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 28^\circ - 93^\circ = 59^\circ$$

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 128^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из равенства $AB = BC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании $AC$ равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Обозначим каждый угол при основании через $x$.$$x + x + 128^\circ = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 5 и 13 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 5^2 = 13^2$$
2. 2
   Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при биссектрисе

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 42^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим известное значение угла:$$\angle BAD = \frac{42^\circ}{2} = 21^\circ$$

Больший катет треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   По рисунку вертикальный катет занимает 6 клеток.$$a=6$$
2. 2
   Горизонтальный катет также занимает 6 клеток.$$b=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Больший катет треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   Прямоугольный треугольник изображён на клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$, поэтому длину катета можно найти подсчётом клеток.
2. 2
   Горизонтальный катет занимает 10 клеток, а вертикальный катет — 5 клеток. Значит, большим является горизонтальный катет.$$10 \cdot 1 = 10$$

Углы прямоугольного треугольника

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $34^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
2. 2
   Вычтем из $90^\circ$ известный угол:$$\beta = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$$

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $47^\circ$ и $64^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём третий угол.$$\gamma = 180^\circ - 47^\circ - 64^\circ = 69^\circ$$

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $43^\circ$ и $88^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём третий угол.$$\gamma = 180^\circ - 43^\circ - 88^\circ = 49^\circ$$