Информатика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

По рекуррентному соотношению функция вычисляет факториал: $F(n)=n!$.

Выразим числители через $F(3236)$:$$F(3238)=3238\cdot3237\cdot F(3236),\quad F(3237)=3237\cdot F(3236)$$

Последовательно применяем рекуррентное соотношение к двум значениям функции:$$F(247\,560)=247\,563\cdot F(247\,557)$$

Ещё один шаг рекурсии даёт:$$F(247\,563)=247\,566\cdot F(247\,560)=247\,566\cdot247\,563\cdot F(247\,557)$$

Функция сначала выводит значение аргумента, а затем при $n \geq 6$ вызывает себя для $n-1$ и $n-3$.$$F(n)=n,F(n-1),F(n-3)\quad\text{при }n\geq 6$$

Разбираем вызов $F(6)$: сначала выводится 6, затем выполняются $F(5)$ и $F(3)$.$$F(6)=653$$

Начинаем вычисление с базового значения:$$F(1)=1$$

Для каждого следующего натурального числа применяем соответствующую ветвь рекурсивного определения: при чётном аргументе прибавляем значение аргумента к предыдущему значению функции, при нечётном аргументе умножаем значение функции с…

Последовательно вычисляем значения функции по заданным формулам. Для чётного $n$ значение удваивается и увеличивается на 1, для нечётного $n$ прибавляется целая часть $(n+1)/2$.

На последних шагах получаем:$$F(30)=131037$$

Для аргумента $21$ рекурсия завершается на $2025$: $21+3\cdot 668=2025$. Поэтому$$F(21)=2025+(24+27+\ldots+2025)$$

В сумме $668$ членов. Сумма арифметической прогрессии равна$$24+27+\ldots+2025=\frac{24+2025}{2}\cdot 668=684366$$

По рекуррентному соотношению последовательно выражаем значение функции:$$F(2023)=2023+F(2022)=2023+2022+F(2021)=2023+2022+2021+F(2020)$$

Вычитаем $F(2020)$ из обеих частей:$$F(2023)-F(2020)=2021+2022+2023$$

При каждом вызове с $n > 2$ сначала выводится значение $n$.$$F(7) \rightarrow 7$$

Затем сначала полностью выполняется рекурсивный вызов $F(n-1)$. Последовательность первого углубления: $7, 6, 5, 4, 3$.

Для первых двух натуральных значений выполняется первое условие:$$F(1)=1,\quad F(2)=1$$

Далее значения функции вычисляются последовательно: для чётных аргументов применяется разность двух предыдущих значений, для нечётных — удвоенное предыдущее значение минус значение двумя шагами ранее.$$F(n)=\begin{cases}F(n-2)-F(n-1),&n\text{ чётно},\\2F(n-1)-F(n-2),&n\text{ нечётно}\end{cases}$$

Начальные значения: $F(0)=F(1)=0$. Последовательно применяем рекуррентные формулы.$$F(2)=1$$

Для нечётных аргументов значение удваивается и увеличивается на 2, для чётных прибавляется половина аргумента. После последовательного вычисления получаем:$$F(24)=12272,\quad F(25)=2\cdot12272+2=24546$$

Вызов $F(7)$ сначала запускает $F(6)$, затем $F(3)$, а число $7$ выводится последним.$$F(7) \to F(6),\ F(3),\ 7$$

Разбираем вызов $F(6)$: сначала выполняется $F(5)$, затем $F(3)$, после чего выводится $6$.$$F(6) \to F(5),\ F(3),\ 6$$

При вызове с положительным n функция сначала печатает n, затем выполняет вызовы F(n - 1) и F(n - 2). При n ≤ 0 функция ничего не печатает.$$F(n) = n, F(n-1), F(n-2)$$

Вызов F(1) печатает 1, поскольку последующие вызовы F(0) и F(-1) ничего не выводят.$$F(1) \to 1$$

При $n \leq 0$ функция ничего не выводит. При положительном $n$ сначала выполняется $F(n-4)$, затем $F(n \mathbin{//} 2)$, и только после этого выводится $n$.

Разберём вызов $F(1)$: оба рекурсивных вызова завершаются без вывода, затем печатается $1$.$$F(1) \to 1$$

При вызове F(7) сначала выводится 7. Затем выполняются вызовы F(7 div 3) = F(2) и F(7 − 2) = F(5).$$F(7) \to 7,\ F(2),\ F(5)$$

Вызов F(2) выводит 2 и выполняет F(0), после чего рекурсия прекращается.$$F(2) \to 2,\ F(0),\ F(0)$$

Из рекуррентного соотношения следует, что значения функции последовательно выражаются через предыдущие значения.$$F(n)=n\times F(n-1)$$

Выражаем значения $F(2024)$ и $F(2023)$ через $F(2022)$.$$F(2024)=2024\times 2023\times F(2022),\quad F(2023)=2023\times F(2022)$$

Вызов F(n) при $n > 0$ передаёт управление функции G(n − 1). Функция G всегда печатает одну звёздочку.$$f(n) = 1 + f(n - 4), \quad n > 2$$

После вызова F(18) цепочка рекурсивных вызовов имеет аргументы:$$18 \to 14 \to 10 \to 6 \to 2$$

При вызове F(9) условие n > 0 выполняется, поэтому вызывается G(7).$$F(9) \to G(7)$$

Функция G(7) печатает один символ и вызывает F(6), так как 7 > 1.$$G(7) \to F(6)$$

Используем рекуррентное соотношение для соседних значений функции.$$F(2024)=2023F(2023),\quad F(2023)=2022F(2022)$$

Подставляем выражения в исходную дробь и сокращаем общий множитель.$$\frac{F(2024)-3F(2023)}{F(2022)}=\frac{2023F(2023)-3F(2023)}{F(2022)}=2020\cdot\frac{F(2023)}{F(2022)}$$

Вызов $F(7)$ сначала вызывает $F(4)$, затем $F(3)$, после чего выводит $7$.$$F(7) = F(4), F(3), 7$$

Для вызова $F(1)$ оба последующих вызова имеют неположительные аргументы, поэтому выводится только $1$.$$F(1) = 1$$

При $n \leq 0$ функция ничего не выводит. Поэтому $F(1)$ сначала вызывает $F(-1)$ и $F(0)$, а затем выводит $1$.$$F(1)=1$$

Вызов $F(2)$ сначала выполняет $F(0)$, затем $F(1)$ и после этого выводит $2$.$$F(2)=1\,2=12$$