Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность…
- 1
Фиксированная часть маски имеет вид $3a12b14$, где $a$ и $b$ — цифры. Символ «*» может задавать от 0 до 3 цифр, поскольку число не превышает $10^{10}$.$$N=(3012014+100000a+1000b)\cdot10^k+s$$
- 2
Перебираем $a,b\in\{0,1,\ldots,9\}$, длину окончания $k\in\{0,1,2,3\}$ и все значения $s$ от $0$ до $10^k-1$. Оставляем только числа, для которых $N\bmod1917=0$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность…
- 1
Пустая последовательность вместо «*» даёт число 123678, но оно не делится на 13.
- 2
При одной цифре вместо «*» получаем числа $1230a678 = 1230678 + 1000a$, где $a$ принимает значения от 0 до 9. Так как $1000 \equiv -1 \pmod{13}$, условие делимости выполняется при $a = 7$. Получаем число 1237678.
Ещё 3 шага — в полном решении
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность…
- 1
Последовательность вместо «*» может иметь от 0 до 3 цифр: при 4 цифрах число превысит $10^8$.
- 2
При одной цифре получаем условие $123407 + 10x \equiv 0 \pmod{131}$. Оно выполняется при $x=6$5, поэтому найдено число $124057$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Пусть $M$ — сумма минимального и максимального натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение $M$ равным нулю. Напишите…
- 1
Для каждого числа перебираем делители от 2 до квадратного корня из числа. Первый найденный делитель является минимальным нетривиальным делителем и простым числом.$$d = p$$
- 2
Максимальный собственный делитель числа равен частному от деления числа на его минимальный делитель.$$q = \dfrac{n}{p}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Пусть $M$ — сумма минимального и максимального простых натуральных делителей целого числа, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то значение $M$ считается равным нулю. Напишите…
- 1
Последовательно перебираем целые числа, начиная с числа, следующего за $8\ 007\ 494\ 154$.
- 2
Для каждого числа раскладываем его на простые множители. Минимальный и максимальный простые множители складываем: $M=p_{\min}+p_{\max}$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 2 626 695 891, в порядке возрастания и ищет среди них числа, представленные в виде произведения ровно двух простых множителей, не…
- 1
Отбираем простые числа, в десятичной записи которых последовательность «67» встречается ровно один раз.
- 2
Проверяем произведения пар таких простых чисел, начиная с чисел, больших 2 626 695 891.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность…
- 1
Так как искомые числа оканчиваются цифрами 57, для частного $q$ должно выполняться сравнение $2023q \equiv 57 \pmod{100}$.$$23q \equiv 57 \pmod{100}$$
- 2
Обратный к 23 по модулю 100 элемент равен 87, поэтому $q \equiv 57 \cdot 87 \equiv 59 \pmod{100}$.
Ещё 4 шага — в полном решении
48ФИПИ D4D5BB№ 25Повышенная Пусть $M$ — сумма минимального и максимального натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение $M$ равным нулю. Напишите…
- 1
Для каждого чётного числа $n > 900000$ минимальный нетривиальный делитель равен 2, а максимальный равен $n/2$.$$M = 2 + \frac{n}{2}$$
- 2
Чтобы $M$ оканчивалось на 8, число $n/2$ должно оканчиваться на 6.$$\frac{n}{2} \equiv 6 \pmod{10}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
49ФИПИ D4FA23№ 25Повышенная Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность…
- 1
Обозначим цифры вместо знаков «?» через $a$ и $b$. Тогда число имеет вид $1234a57b8$, или $123405708 + 10000a + 10b$.$$N=123405708+10000a+10b$$
- 2
Рассмотрим остатки по модулю 17.$$123405708\equiv5,\quad 10000\equiv4\pmod{17}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность…
- 1
При пустой последовательности вместо «*» получаем число 123458, но оно не делится на 21.
- 2
При одной цифре вместо «*» перебираем числа вида 1234d58. Делимость на 3 возможна только при $d=1,4,7$; проверка делимости на 7 оставляет число 1234758.
Ещё 3 шага — в полном решении
Пусть $M$ — сумма минимального и максимального простых натуральных делителей целого числа, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, значение $M$ считается равным нулю. Напишите…
- 1
Перебираем натуральные числа в порядке возрастания, начиная с числа, следующего за $8\,007\,524\,668$.$$n = 8\,007\,524\,669, 8\,007\,524\,670, \ldots$$
- 2
Оставляем только числа, в десятичной записи которых последовательность 991 встречается ровно один раз.$$\operatorname{count}(\operatorname{str}(n),991)=1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
52ФИПИ E90CD8№ 25Повышенная Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 600 000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, у которых есть натуральный делитель, оканчивающийся на цифру 9 и не равный ни…
- 1
Перебираем числа, начиная с 600001. Для каждого числа проверяем делители в порядке возрастания и выбираем первый делитель, оканчивающийся цифрой 9, кроме 9 и самого числа.$$n \bmod d = 0,\quad d \bmod 10 = 9,\quad d \ne 9,\quad d \ne n$$
- 2
Для числа 600001 наименьший подходящий делитель равен 19: $600001 = 19 \cdot 31579$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Пусть $R$ — сумма различных натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие $500\,000$, в порядке возрастания и ищет…
- 1
Для каждого целого числа $n > 500\,000$ перебираем возможные делители $d$ от 2 до $\sqrt n$.
- 2
Если $d$ делит $n$, добавляем к сумме $R$ делители $d$ и $n/d$. Если $d^2=n$, добавляем только один из них.
Ещё 2 шага — в полном решении
Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 1 103 285 717, в порядке возрастания и ищет среди них числа, представленные в виде произведения ровно двух простых множителей, не…
- 1
Перебираем простые числа, содержащие последовательность цифр 16 ровно один раз. Для каждого такого простого p ищем простое q с тем же свойством, чтобы произведение $pq$ было больше 1 103 285 717.$$n=pq$$
- 2
Первые подходящие произведения с наименьшими множителями имеют пары $(p,q)$: $(163,6\,769\,163)$, $(167,6\,607\,163)$, $(163,6\,770\,161)$, $(167,6\,608\,161)$ и $(163,6\,771\,161)$.
Ещё 1 шаг — в полном решении